Теорема Аполлонія

Теорема Аполлонія пов'язує лінійні елементи в трикутнику. Нехай дано трикутник ${\displaystyle ABC}$, точка ${\displaystyle D}$ лежить на стороні ${\displaystyle BC}$ і ділить її у співвідношенні ${\displaystyle n:m}$ (тобто ${\displaystyle mBD=nDC}$), тоді справедлива рівність:

Теорема Аполлонія

${\displaystyle mAB^{2}+nAC^{2}=mBD^{2}+nDC^{2}+(m+n)AD^{2}.\,}$

Якщо ${\displaystyle m=n=1}$, тобто коли ${\displaystyle AD}$ є медіаною опущеною на сторону ${\displaystyle BC}$, то теорема спрощується:

${\displaystyle AB^{2}+AC^{2}=2(AD^{2}+BD^{2})\,\!}$

Крім того якщо ${\displaystyle AB=AC}$, то трикутник рівнобедрений і теорема спрощується до теореми Піфагора.

${\displaystyle AD^{2}+BD^{2}=AB^{2}(=AC^{2}).\,}$

Див. також

• Теорема Стюарта
• Задача Аполлонія

Примітки

Джерела

• Charles Godfrey, Arthur Warry Siddons. Modern Geometry. — University Press, 1908. — P. 20.
• Apollonius Theorem на PlanetMath.(англ.)