Теорія множин Цермело — Френкеля (позначається ZF) — найпоширеніша аксіоматика теорії множин, і, через це, найпоширеніша (основа математики).
ZFC — теорія множин Цермело — Френкеля з аксіомою вибору (AC).
ZFC містить єдине примітивне онтологічне поняття — множина, та єдине онтологічне припущення, що всі об'єкти в досліджуваному просторі (наприклад, всі математичні об'єкти) є множинами.
Вводиться єдине бінарне відношення — приналежність до множини; позначає що множина є елементом множини , та записується як .
ZFC є (теорією першого порядку); в ZFC містяться аксіоми, в яких використовується логіка першого порядку. Ці аксіоми описують: порівняння, існування, побудову та впорядкування множин.
Передумови створення
Аксіоматична теорія множин — напрям у математичній логіці, присвячений вивченню фрагментів змістовної теорії множин методами математичної логіки. З цією метою фрагменти теорії множин подають у вигляді аксіоматичної теорії. В основі сучасної теорії множин лежить система аксіом, які приймають без доведення і з яких виводять усі теореми теорії множин. Передумовами створення такої теорії стало відкриття деяких парадоксів (антиномій, суперечностей) так званої «наївної» теорії множин. Серед таких парадоксів найбільш відомими є парадокси Кантора і Рассела.
Першою аксіоматикою такого роду була (система Z Цермело) (E. Zermelo, 1908). Однак у цій системі неможливо було природним чином формалізувати деякі розділи математики, і (А.Френкель) (A. Frenkel, 1922) запропонував доповнити систему Z новим принципом, який назвав (аксіомою підстановки). Отриману систему називають системою аксіом Цермело — Френкеля і позначають ZF.
Аксіоми ZFC
Порівняння
(Аксіома екстенсіональності (об'ємності)) (Z1)
Дві множини рівні тоді й тільки тоді, коли вони мають одні й ті ж елементи.
Існування
(Аксіома нескінченності) (Z7)
Існує така множина A, що включає в себе пусту множину {} та для будь-якого належного їй елемента B включає також і множину, сформовану як об'єднання B та її синґлетону {B}.
Існує множина без елементів.
Таку множину зазвичай позначають як ∅ або {} та називають порожньою множиною.
Побудови
(Аксіома пари) (Z2)
Для будь-яких множин A та B існує множина C така, що A та B є її єдиними елементами. Множина C позначається {A, B} і називається невпорядкованою парою A та B.
Тобто, якщо A = B, то існує множина C така, що вона складається з одного елемента {A, A} = {A} (який має назву ).
(Аксіома булеана) (Z4)
Для будь-якої множини А існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи що є підмножинами A.
Якщо ввести відношення підмножини , то формулу можна спростити:
Множину B називають булеаном множини A та позначають .
(Аксіома об'єднання) (Z5)
Для двох множин існує третя, яка включає в себе всі елементи обох, і тільки їх.
З аксіоми прямо випливає, що об'єднання множин також є множиною. Множина B називається об'єднанням A, і позначається ∪A.
Для будь-якої множини А і властивості P існує множина B, елементами якої є ті й тільки ті елементи множини А, які маю властивість P.
Для кожної такої властивості P (предиката, що не використовує символ B), існує окрема аксіома виділення. Тому комплект таких аксіом називають схемою.
(Схема перетворення (аксіома підстановки)) (ZF)
Нехай А - множина, і P(x,y) - предикат. Тоді якщо для кожного x існує єдиний y, такий що P(x,y) істинний, тоді існує множина всіх y, для яких знайдеться такий x ∈ A, що P(x,y) істинний.
Впорядкування
(Аксіома регулярності) (ZF)
В будь-якій непорожній множині А є елемент B, що перетин А та B є порожньою множиною.
Якщо ввести операцію перетину множин , то формулу можна спростити:
Аксіома вибору (Z6)
Для довільного сімейства непорожніх множин, що не перетинаються, існує множина, яка має рівно один спільний елемент з кожною множиною даного сімейства, навіть якщо множин у сімействі нескінченно багато і невизначено правило вибору елемента з кожної множини.
Надлишковість
- Аксіома порожньої множини явним чи неявним чином присутня у всіх аксіоматичних теоріях множин. В ZF не є виокремленою, а включається в (аксіому нескінченності).
- Аксіомна схема виділення не входить в ZF, оскільки виводиться із пізніше введеної (аксіомної схеми підстановки) та аксіоми порожньої множини.
- (Аксіома пари) виводиться із аксіоми підстановки, аксіоми порожньої множини та аксіоми булеана.
Див. також
- Теорія множин
- (Теорія множин фон Неймана — Бернайса — Геделя)
- (Z-нотація)
Джерела
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : , 1937. — 304 с. — .(рос.)
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет