Аксіоматика теорії множин

Сучасна теорія множин, яка лежить в основі математичної науки, базується на системі аксіом, які приймаються без доведення і з яких виводяться усі теореми та твердження теорії множин.

Передумовами до створення такої теорії стало відкриття деяких парадоксів, протиріч в так званій «наївній» теорії множин. Серед таких парадоксів найвідомішими є парадокс Кантора, пов'язаний з проблемою існування «множини всіх множин», або парадокс Рассела, в якому розглядається «множина всіх множин, які не включають самі себе як елемент». Такі протиріччя обумовлені існуванням в «наївній» теорії множин неявного припущення про те, що для будь-якої властивості існує множина, яка складається зі всіх предметів, які мають цю властивість. Цей принцип отримав назву «принципа згортання».

Аксіоматичні теорії множин вносять деякі корективи в цей принцип або іншим чином знімають існуючі протиріччя.

Найвідомішою з таких систем є система аксіом Цермело-Френкеля (ZF-система), яка накладає певні обмеження на принцип згортання, пропонуючи натомість низку спеціальних аксіом. В цій системі аксіом окремо виділяється аксіома вибору, відношення до якої в математичному співтоваристві є суперечливим. Аксіоматика Цермело-Френкеля з аксіомою вибору називається ZFC-системою.

ZF-аксіоми були сформульовані в сучасному стані Торальфом Сколемом в 1922 році, і є розвитком системи аксіом (Адольфа Френкеля), яка в свою чергу базувалась на системі аксіом, сформульованій (Ернестом Цермело).

Існують й альтернативні аксіоматики для побудови теорії множин, серед яких можна виділити (аксіоматику Ноймана-Бернайса-Геделя), яка вводить поняття «класу» як множини, яка не може належати іншим множинам, таким чином вирішуючи проблеми «наївної» теорії. Серед інших слід відзначити також аксіоматику Рассела-Вайтгеда та NF-аксіоматику Квайна.

Фундаментальна роль аксіоматики теорії множин

В рамках теорії ZFC можна викласти всі загальноприйняті методи математичних міркувань. Можна навіть сказати, що на сучасному етапі розвитку математики така «узгодженість» з ZFC є з формальної точки зору таким собі універсальним мірилом математичної строгості (хоча, зважаючи на фундаментальний характер цього твердження, така позиція не є одностайною серед математиків).

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Аксіоматична теорія множин // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін. — Київ : Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України : Абрис, 2002. — 742 с. — 1000 екз. — ББК 87я2. — .