Степінь трансцендентності

Степінь трансцендентності розширення поля ${\displaystyle L/K}$ це найбільша потужність підмножини поля ${\displaystyle L}$, що є алгебраїчно незалежною щодо поля ${\displaystyle K}$.

Розширення ${\displaystyle L/K}$ є трансцендентним тоді й лише тоді, коли поле ${\displaystyle L}$ містить елементи, трансцендентні над ${\displaystyle K}$, тобто елементи, що не є коренем ніякого алгебраїчного рівняння з коефіцієнтами з ${\displaystyle K}$.

Відповідно розширення є алгебричним тоді й лише тоді коли його степінь трансцендентності рівний нулю.

Якщо ${\displaystyle X}$ — максимальна множина, всі елементи якої алгебраїчно незалежні, то ${\displaystyle X}$ називається базисом трансцендентності поля ${\displaystyle L}$ над ${\displaystyle K}$. Усі базиси трансцендентності мають однакову потужність, що рівна степеню трансцендентності розширення.

Для полів ${\displaystyle M\supset L\supset K}$ степінь трансцендентності ${\displaystyle M/K}$ рівний сумі степенів трансцендентності ${\displaystyle M/L}$ та ${\displaystyle L/K}$. Якщо всі елементи множини ${\displaystyle X}$ алгебраїчно незалежні, то розширення до ${\displaystyle K(X)}$ називається чисто трансцендентним. В цьому випадку поле ${\displaystyle K(X)}$ ізоморфне полю раціональних функцій від множини змінних ${\displaystyle X}$ над ${\displaystyle K}$.

Приклади

• Поле раціональних функцій n змінних K(x₁,...,x_n) є чисто трансцендентним розширенням поля K степінь трансцендентності якого рівний n; за базис трансцендентності можна, наприклад взяти множину {x₁,...,x_n}.
• Степінь трансцендентності поля мероморфних функцій визначених у компактній рімановій поверхні рівний 1 над полем комплексних чисел.
• Степінь трансцендентності поля ${\displaystyle Q({\sqrt {2}},\pi )}$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ рівний 1, оскільки ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ є алгебричним числом, а π — трансцендентним.
• Степінь трансцендентності поля ${\displaystyle \mathbb {C} }$ чи ${\displaystyle \mathbb {R} }$ над ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ рівний потужності континуум.

Джерела

• Зарисский О., Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Бурбаки Н. Алгебра ч.2 Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М. : Наука, 1965. — С. 300. — (Елементи математики)(рос.)