Симплекс або n-вимірний тетраедр (від лат. simplex — простий) — геометрична фігура, що є багатовимірним узагальненням трикутника і тетраедра. Визначається як опукла оболонка n+1 точок, що не лежать в одній n-1 -вимірній гіперплощині. Ці точки називаються вершинами симплекса.
Формально, симплексом розмірності є множина яка складається з дійсних функцій визначених на множині які задовільняють двом умовам:
та
Елементи є вершинами, а функції - точками симплекса значення яких на вершинах симплекса називаються барицентричними координатами точки Відстань між двома точками симплекса визначається формулою Топологічний простір, утворений таким чином, називається простором симплекса Барицентричні координати є неперервними функціями на просторі симплекса.
Побудова
Як відомо, через будь-які n точок можна провести (n-1)-площину і існують множини з n+1 точок, через які (n-1)-площину провести не можна. Таким чином n+1 — мінімальна кількість точок в n-просторі, які не лежать в одній (n-1)-площині, і можуть бути вершинами n-многогранника, тобто, n-симплекс являє собою (джойн) n+1 точок.
Простий n-многогранник з кількістю вершин n+1 називається симплексом. У просторах найменших розмірностей цьому визначенню відповідають 4 фігури:
- 0-симплекс (точка) — 1 вершина;
- 1-симплекс (відрізок) — 2 вершини;
- 2-симплекс (трикутник) — 3 вершини;
- 3-симплекс (тетраедр) — 4 вершини.
Всі ці фігури володіють трьома загальними властивостями:
- Відповідно до визначення, число вершин у кожної фігури на одиницю більше розмірності простору;
- Існує загальне правило перетворення фігур нижчої розмірності у фігури вищої розмірності. Воно полягає в тому, що з геометричного центра фігури будується перпендикуляр в наступний вимір, на цьому перпендикулярі будується нова вершина і з'єднується ребрами зі всіма вершинами початкового симплекса;
- Як випливає з описаної в п. 2 процедури, будь-яка вершина симплекса сполучена ребрами зі всією рештою вершин.
Кількість граней симплекса
Симплекс має n+1 вершин, кожна з яких сполучена ребрами зі всією рештою вершин.
Оскільки всі вершини симплекса сполучені між собою, то тією ж властивістю володіє і будь-яка підмножина його вершин. Це значить, що будь-яка підмножина з L+1 вершин симплекса визначають його L-вимірну грань, і ця грань сама є L-симплексом. Тоді для симплекса число L-вимірних граней рівне числу способів вибрати L+1 вершину з повного набору n+1 вершин.
Позначимо символом K(L, n) число L-вимірних граней в n-многограннику, тоді для n-симплекса
де — число комбінацій з n по m.
Зокрема, кількість граней найбільшої розмірності рівна кількості вершин і рівна n+1:
Стандартний симплекс
Стандартний n-симплекс ця підмножина , що визначається як:
Його вершинами є точки:
- e0=(1, 0 . 0): e1=(0, 1 . 0)
- .
- en=(0, 0 . 1)
Існує канонічне бієктивне відображення стандартного n-симплекса в будь-якій іншої n-симплекс з координатами вершин :
Значення ti для даної точки називаються її (барицентричними координатами).
Зростаючі координати
Альтернативну координатну систему можна визначити взявши:
Тоді точки симплекса визначаються векторами з неспадними координатами між 0 and 1:
Геометричні властивості
Симплекс називається правильним, якщо всі його ребра мають однакову довжину: наприклад, правильний трикутник або правильний тетраедр. Правильний симплекс завжди є правильним многогранником.
n-симплекса в n-вимірному евклідовому просторі можна визначити за формулою:
дозволяє обчислити об'єм симплекса, знаючи довжини його ребер:
де — відстань між i-й і j-й вершинами, n — розмірність простору. Ця формула — узагальнення (формули Герона) для трикутників.
Об'єм правильного n-симплекса з одиничною стороною рівний
Якщо задано додатних дійсних чисел то симплекс відстань між відповідними вершинами якого рівна цим числам існує тоді і тільки тоді, коли де матриця D визначається:
Еквівалентно такий симплекс існує, якщо і тільки якщо квадратна матриця A розмірності n елементи якої визначаються:
є додатноозначеною. Дана матриця є (матрицею Грама) для векторів
Формули для правильного симплекса
Число L-вимірних граней | |||||
Висота | |||||
Об'єм | |||||
Радіус описаної сфери | |||||
Радіус вписаної сфери | |||||
Двогранний кут |
Співвідношення між величинами:
Див. також
Література
- О. Шинкаренко, Т. Остапенко: Математика вищого навчання — геометричні знання.
- (1976). Principles of Mathematical Analysis (вид. 3rd). McGraw-Hill. ISBN .
- (1973). (вид. 3rd). Dover. ISBN .
- ; (2004). Convex Optimization. Cambridge University Press. ISBN .
Ланки
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет