Гіперплощина

Гіперплощина — підпростір евклідового або афінного простору корозмірності 1, тобто із розмірністю, на одиницю меншою, ніж об'ємний простір.

Гіперплощина
Формула	${\displaystyle H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x=p+s_{1}u_{1}+\dotsb +s_{n-1}u_{n-1};s_{1},\dotsc ,s_{n-1}\in \mathbb {R} \}}$
Підтримується Вікіпроєктом

Наприклад, для двовимірного простору гіперплощиною є пряма, для тривимірного — площина тощо.

Рівняння гіперплощини

Нехай ${\displaystyle \mathbf {n} \in \mathbb {R} ^{k}}$ — нормальний вектор до гіперплощини, тоді рівняння гіперплощини, що проходить через точку ${\displaystyle \mathbf {X} \in \mathbb {R} ^{k}}$, має вигляд

${\displaystyle (\mathbf {n} ;\mathbf {x} )=(\mathbf {n} ;\mathbf {X} )}$

Тут ${\displaystyle (\cdot ;\cdot )}$ — скалярний добуток в просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$. В частковому випадку рівняння приймає вигляд

${\displaystyle n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+\ldots +n_{k}x_{k}=d=n_{1}X_{1}+n_{2}X_{2}+\ldots +n_{k}X_{k}}$

Відстань від точки до гіперплощини

Нехай ${\displaystyle \mathbf {n} \in \mathbb {R} ^{k}}$ — нормальний вектор до гіперплощини, тоді відстань від точки ${\displaystyle \mathbf {r} \in \mathbb {R} ^{k}}$ до цієї гіперплощини задається формулою

${\displaystyle \rho ={\frac {|(\mathbf {r} -\mathbf {R} ;\mathbf {n} )|}{|\mathbf {n} |}}}$

де ${\displaystyle \mathbf {R} }$ — довільна точка гіперплощини.