Сепарабельне розширення — (алгебраїчне розширення поля) L/K, що складається з сепарабельних елементів тобто таких елементів α, мінімальний многочлен f(x) над K для яких не має кратних коренів. Похідна f'(x) повинна бути по вищезгаданому ненульовим многочленом. За визначенням, всі поля характеристики 0 сепарабельні, тому поняття сепарабельності нетривіальне лише для полів ненульової характеристики p.
Сепарабельне розширення | |
Підтримується Вікіпроєктом | |
---|---|
Протилежне | d |
Для скінченних розширень маємо наступну теорему:
Якщо K ⊆ L ⊆ K*, де K* — алгебраїчне замикання поля К, то L сепарабельне тоді і тільки тоді, коли число різних ізоморфізмів σ L в замикання, алгебри K*, над K рівне степеню [L:K]. У разі несепарабельних розширень це число є дільником [L:K] і називається сепарабельним степенем [L:K]s.
Властивості сепарабельних розширень
Нехай K ⊆ L ⊆ F. Якщо L/K і F/L сепарабельні, то і F/K сепарабельне. Навпаки, якщо F/K сепарабельне, то і L/K і F/L сепарабельні.
Якщо L/K сепарабельне, то для будь-якого розширення F/K (якщо F і L містяться в деякому полі) добуток полів LF є сепарабельним розширенням K.
Теорема про первісний елемент:
Якщо L=K(α1,α2...αn) , де α1 — алгебраїчний (не обов'язково сепарабельний) над K, а α2...αn — алгебраїчні і сепарабельні, то існує такий елемент θ, що L=K(θ) (т.з. первісний або примітивний елемент).
Узагальнення сепарабельності на неалгебраїчні розширення
Спочатку введемо поняття лінійної незалежності двох розширень L/K і E/K, де поля L і E є підполями деякого L називається лінійно незалежним від E над K, якщо будь-яка скінченна множина елементів L лінійно незалежна над K залишається лінійно незалежним і над L. Легко доводиться симетричність цього визначення: якщо L лінійно незалежне від E над K, то і навпаки, E лінійно незалежне від L над K.
Позначимо — розширення поля, породжене приєднанням всіх коренів степеня pm з елементів K. Розширення L над K називається сепарабельним, якщо L для деякого натурального m лінійне незалежне від
над K. Для алгебраїчних розширень, це визначення еквівалентно звичайному. Можна довести, що від числа m дане визначення не залежить і рівносильно лінійній незалежності L і
- добутку всіх
.
Див. також
- (Алгебраїчне розширення поля)
- (Досконале поле)
Література
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет