В абстрактній алгебрі простий ідеал — ідеал кільця, властивості якого схожі з властивостями простих чисел. Окрім теорії кілець поняття також часто використовується у алгебраїчній геометрії, де прості ідеали многочленів визначають (афінні многовиди).
Узагальненням поняття простого ідеала є примарний ідеал.
Визначення
Ідеал кільця
називається простим, якщо
і якщо з того, що добуток
двох ідеалів
міститься в
, то принаймні один з ідеалів
або
міститься в
.
У загальному некомутативному кільці це еквівалентно наступному означенню:
- Ідеал називається простим якщо виконуються умови:
- якщо
такі, що для всіх
, їх добуток
належить
, тоді
або
.
не рівне кільцю
.
- якщо
У комутативному кільці ідеал називається простим, якщо для деяких двох елементів з того, що
, випливає що
або
. Якщо ця властивість виконується для некомутативного кільця його називають цілком простим.
- Замітка. Іноді термін простий ідеал використовується лише для комутативних кілець. У некомутативному випадку при цьому використовується термін первинний ідеал.
Властивості
- простого ідеалу при гомоморфізмі комутативних кілець є простим ідеалом.
- Ідеал
у комутативному кільці є простим, якщо елементи доповнення до нього утворюють мультиплікативну систему.
- Підмножина кільця називається мультиплікативною системою, якщо вона замкнута відносно операції множення.
- Теорема віддільності: Нехай в комутативному кільці
з одиницею заданий ідеал
, що не перетинається з мультиплікативною системою
. Тоді існує простий ідеал
, що містить
і не перетинається з системою
.
- Доведення використовує один з варіантів леми Цорна. Множина всіх ідеалів кільця A, що містять
і не перетинаються з системою
є непорожньою (вона містить ідеал
), і відношення теоретико-множинного включення задає на ньому індуктивний порядок. За лемою Цорна ця множина містить максимальний елемент — деякий ідеал
. Припущення про його непростоту приводить до суперечності з його максимальністю.
- Доведення використовує один з варіантів леми Цорна. Множина всіх ідеалів кільця A, що містять
- Теорема про радикал: Перетин всіх простих ідеалів, що містять ідеал
, збігається з (радикалом ідеалу)
(тобто множиною
)
- Нехай
— простий ідеал, що містить
. Якщо елемент f належить радикалу
, значить деякий його степінь належить ідеалу
, відповідно f не може належати доповненню до
, оскільки це доповнення — мультиплікативна система (якщо воно містить f, то містить і всі його степені). Значить f необхідно належить всім простим ідеалам, що містять ідеал
.
Навпаки: нехай f не належить радикалу. Тоді множина всіх його степенів — мультиплікативна система, що не перетинає
. За попередньою теоремою існує простий ідеал, що містить
і що не містить жоден із степенів елементу f. Значить f не належить усім простим ідеалам, що містять ідеал
.
- Нехай
Приклади
- Нехай R — кільце C[X, Y] многочленів від двох змінних, з комплексними коефіцієнтами. Тоді ідеал породжений многочленом Y2 − X3 − X − 1 є простим.
- У довільному кільці з одиницею довільний максимальний ідеал є простим.
- Нехай
максимальний ідеал кільця
і припустимо
має ідеали
і
і
, але
. Оскільки
є максимальним, маємо
. Тоді,
- Нехай
- Тому
або
, тобто ідеал є простим.
- Тому
Література
Українською
- (укр.) Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф. : Голіней, 2023. — 153 с.
Іншими мовами
- Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
- Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — .(рос.)
Посилання
- Characterization of prime ideals на сайті PlanetMath.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет