Правило Крамера

Метод Крамера (правило Крамера) — спосіб розв'язання квадратних систем лінійних алгебраїчних рівнянь із ненульовим визначником основної матриці (при цьому для таких рівнянь існує єдиний розв'язок). Правило Крамера виражає розв'язок через визначники квадратної матриці коефіцієнтів та матриць, отриманих шляхом заміни одного стовпця матриці коефіцієнтів вектор-стовпцем правої частини рівняння. Цей метод названий на честь Габрієля Крамера (1704—1752), який у 1750 р. представив його для довільної кількості невідомих. Колін Маклорен також публікував особливі випадки цього правила в 1748 р. (і, можливо, знав про нього ще в 1729 р.).

Метод Крамера
Названо на честь	Габрієль Крамер
Підтримується Вікіпроєктом
Метод Крамера у Вікісховищі

Правило Крамера, реалізоване наївним шляхом, є неефективним для систем, що складаються більше ніж з двох або трьох рівнянь. У випадку ${\displaystyle n}$ рівнянь з ${\displaystyle n}$ невідомими, воно потребує обчислення ${\displaystyle n+1}$ визначників, тоді як метод Гауса дає результат із такою ж обчислювальною складністю, як і обчислення одного визначника.

Правило Крамера також може бути чисельно нестійким навіть для систем ${\displaystyle 2\times 2}$. Однак нещодавно його було реалізовано за ${\displaystyle O(n^{3})}$ кроків, що порівняно з більш поширеними методами розв'язання систем лінійних рівнянь, такими як метод Гауса (вимагається в 2,5 рази більше арифметичних операцій для всіх розмірів матриць), виявляє порівнянну числову стійкість у більшості випадків.

Загальний випадок

Розглянемо систему з ${\displaystyle n}$ лінійних рівнянь для ${\displaystyle n}$ невідомих, записану в матричному вигляді

${\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}$,

де ${\displaystyle A}$ — ${\displaystyle n\times n}$ матриця з ненульовим визначником, і ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=(x_{1},\dots ,x_{n})^{\rm {T}}}$ — вектор-стовпець змінних. Теорема стверджує, що в цьому випадку система має єдиний розв'язок, у якому значення невідомих визначаються як

${\displaystyle x_{i}={\frac {\det(A_{i})}{\det(A)}},\qquad i=1,\dots ,n,}$,

де ${\displaystyle A_{i}}$ — матриця, утворена заміною ${\displaystyle i}$-го стовпця матриці ${\displaystyle A}$ на вектор-стовпець ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$.

Іншими словами, для системи ${\displaystyle n}$ лінійних рівнянь з ${\displaystyle n}$ невідомими (над довільним полем)

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\ldots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\ldots +a_{2n}x_{n}=b_{2}\\\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\ldots +a_{nn}x_{n}=b_{n}\\\end{cases}}}$

з визначником матриці системи ${\displaystyle \Delta }$, що не рівний нулю, розв'язок записується у такому вигляді:

${\displaystyle x_{i}={\frac {1}{\Delta }}{\begin{vmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1,i-1}&b_{1}&a_{1,i+1}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&\ldots &a_{2,i-1}&b_{2}&a_{2,i+1}&\ldots &a_{2n}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n-1,1}&\ldots &a_{n-1,i-1}&b_{n-1}&a_{n-1,i+1}&\ldots &a_{n-1,n}\\a_{n1}&\ldots &a_{n,i-1}&b_{n}&a_{n,i+1}&\ldots &a_{nn}\\\end{vmatrix}}}$

(${\displaystyle i}$-й стовпчик матриці системи замінюється стовпчиком вільних членів).

Також правило Крамера формулюється так: для будь-яких коефіцієнтів ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}}$ виконується рівність:

${\displaystyle (c_{1}x_{1}+c_{2}x_{2}+\dots +c_{n}x_{n})\cdot \Delta =-{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}&b_{2}\\\ldots &\ldots &\ldots &\ldots &\ldots \\a_{n1}&a_{n2}&\ldots &a_{nn}&b_{n}\\c_{1}&c_{2}&\ldots &c_{n}&0\\\end{vmatrix}}}$

У такій формі формула Крамера справедлива без припущення, що ${\displaystyle \Delta }$ не рівне нулю, не треба, навіть, аби коефіцієнти системи були елементами цілісного кільця (визначник системи навіть може бути дільником нуля у кільці коефіцієнтів). Також можна вважати, що або набори ${\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}}$ та ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}$, або набір ${\displaystyle c_{1},c_{2},\dots ,c_{n}}$ складаються не з елементів кільця коефіциєнтів системи, а деякого модуля над цим кільцем. В такому вигляді формула Крамера використовується, наприклад, при доведенні формули для визначника Грама і Леми Накаями.

Більш загальна версія правила Крамера розглядає матричне рівняння

${\displaystyle A{\boldsymbol {X}}={\boldsymbol {B}},}$

де ${\displaystyle A}$ — ${\displaystyle n\times n}$ матриця з ненульовим визначником, а ${\displaystyle {\boldsymbol {X}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ — ${\displaystyle n\times m}$ матриці. Розглянемо послідовності ${\displaystyle 1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n}$ та ${\displaystyle 1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq m}$. Нехай ${\displaystyle X_{I,J}}$ — ${\displaystyle k\times k}$ підматриця ${\displaystyle X}$ з рядками ${\displaystyle I=(i_{1},\dots ,i_{k})}$ та стовпцями ${\displaystyle J=(j_{1},\dots ,j_{k})}$, ${\displaystyle A_{B}(I,J)}$ — ${\displaystyle n\times n}$ матриця, утворена заміною ${\displaystyle i_{s}}$ стовпця матриці ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle j_{s}}$ стовпець матриці ${\displaystyle B}$, для всіх ${\displaystyle s=1,\dots ,k}$. Тоді

${\displaystyle \det X_{I,J}={\frac {\det(A_{B}(I,J))}{\det(A)}}.}$

У випадку ${\displaystyle k=1}$, це зводиться до звичайного правила Крамера.

Метод справедливий для систем рівнянь з коефіцієнтами та невідомими над будь-яким полем, а не лише у випадку дійсних чисел.

Доведення

Доведення правила Крамера використовує такі (властивості визначника): лінійність відносно будь-якого фіксованого стовпця і той факт, що визначник дорівнює нулю, коли два стовпці рівні (це випливає із властивості, що знак визначника змінюється на протилежний, якщо переставити два стовпці).

Зафіксуємо ${\displaystyle j}$-й стовпець. Лінійність означає наступне: якщо розглядаємо лише стовпець ${\displaystyle j}$ як змінну (фіксуючи інші довільно), отримана функція ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} }$ (вважаємо елементи матриці дійсними числами) може бути задана матрицею, з одним рядком і ${\displaystyle n}$ стовпцями, що діє на ${\displaystyle j}$-й стовпець. Насправді, це саме те, що й теорема Лапласа: записуючи ${\displaystyle \det(A)=C_{1}a_{1,j}+\dots +C_{n}a_{n,j}}$ для певних коефіцієнтів ${\displaystyle C_{1},\dots ,C_{n}}$, які залежать від стовпців матриці ${\displaystyle A}$, відмінних від стовпця ${\displaystyle j}$ (точний вигляд для цих мінорів тут неважливий). Тоді значення ${\displaystyle \det(A)}$ є результатом застосування однорядкової матриці ${\displaystyle L_{(j)}=(C_{1}\quad C_{2}\quad \cdots \quad C_{n})}$ до стовпця ${\displaystyle j}$ матриці ${\displaystyle A}$. Якщо ${\displaystyle L_{(j)}}$ застосовано до будь-якого іншого стовпця ${\displaystyle k}$ матриці ${\displaystyle A}$, то результатом є визначник матриці, отриманої з матриці ${\displaystyle A}$, заміною стовпця ${\displaystyle j}$ на копію стовпця ${\displaystyle k}$, тому отриманий визначник дорівнює ${\displaystyle 0}$ (випадок двох рівних стовпців).

Тепер розглянемо систему ${\displaystyle n}$ лінійних рівнянь з ${\displaystyle n}$ невідомими ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, матрицею коефіцієнтів якої є ${\displaystyle A}$ з ненульовим визначником ${\displaystyle \det(A)}$,

${\displaystyle {\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&b_{1}\\[1ex]a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&b_{2}\\[1ex]&\vdots &\\[1ex]a_{n1}x_{1}+a_{n2}x_{2}+\cdots +a_{nn}x_{n}&=&b_{n}.\end{matrix}}}$

Якщо об'єднати ці рівняння, взявши ${\displaystyle C_{1}}$, помножене на перше рівняння, додати ${\displaystyle C_{2}}$, помножене на друге, і так далі, поки ${\displaystyle C_{n}}$ домножиться на останнє рівняння, то коефіцієнт при ${\displaystyle x_{j}}$ буде дорівнювати ${\displaystyle C_{1}a_{1,j}+\cdots +C_{n}a_{n,j}=\det(A)}$, тоді як коефіцієнти при всіх інших невідомих стають нулями; ліва частина набуває вигляду ${\displaystyle \det(A)x_{j}}$. Права частина — це ${\displaystyle C_{1}b_{1}+\cdots +C_{n}b_{n}}$, тобто ${\displaystyle L_{(j)}}$, застосований до вектора-стовпця ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$ утвореного правими частинами ${\displaystyle b_{i}}$. Насправді, те, що було зроблено тут, — домноження матричного рівняння ${\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}$ зліва на ${\displaystyle L_{(j)}}$. Поділивши на ненульове число ${\displaystyle \det(A)}$, знаходимо наступне рівняння, що задовольняє систему:

${\displaystyle x_{j}={\frac {L_{(j)}\cdot {\boldsymbol {b}}}{\det(A)}}.}$

Але, за побудовою, чисельник є визначником матриці, отриманої з матриці ${\displaystyle A}$, заміною стовпця ${\displaystyle j}$ на ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$, тому отримуємо вираз для правила Крамера як необхідну умову розв'язку. Цю саму процедуру треба повторити для решти ${\displaystyle j}$, щоб знайти значення інших невідомих.

Залишається довести, що ці значення для невідомих єдині та дійсно разом утворюють розв'язок системи. Але, якщо матриця ${\displaystyle A}$ невироджена з оберненою матрицею ${\displaystyle A^{-1}}$, то ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}=A^{-1}{\boldsymbol {b}}}$ буде розв'язком, що й доводить його існування. Покажемо, що матриця ${\displaystyle A}$ має обернену, якщо ${\displaystyle \det(A)}$ ненульовий. Розглянемо ${\displaystyle n\times n}$ матрицю ${\displaystyle M}$, отриману шляхом складання одна над одною однорядкових матриць ${\displaystyle L_{(j)}}$ при ${\displaystyle j=1,\dots ,n}$ (це дає приєднану матрицю для матриці ${\displaystyle A}$). Було показано, що ${\displaystyle L_{(j)}A=(0\quad \dots \quad 0\quad \det(A)\quad 0\quad \dots \quad 0)}$, де ${\displaystyle \det(A)}$ з'являється на позиції ${\displaystyle j}$; з цього випливає, що ${\displaystyle MA=\det(A)I_{n}}$. Отже,

${\displaystyle {\frac {1}{\det(A)}}M=A^{-1},}$

що і завершує доведення

Інші доведення див.нижче.

Приклад

Система лінійних рівнянь:

${\displaystyle {\begin{cases}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+a_{13}x_{3}=b_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+a_{23}x_{3}=b_{2}\\a_{31}x_{1}+a_{32}x_{2}+a_{33}x_{3}=b_{3}\\\end{cases}}}$

Визначники:

${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}&a_{13}\\b_{2}&a_{22}&a_{23}\\b_{3}&a_{32}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{11}&b_{1}&a_{13}\\a_{21}&b_{2}&a_{23}\\a_{31}&b_{3}&a_{33}\\\end{vmatrix}},\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&b_{2}\\a_{31}&a_{32}&b_{3}\\\end{vmatrix}}}$

Розв'язок:

${\displaystyle x_{1}={\frac {\Delta _{1}}{\Delta }},\ \ x_{2}={\frac {\Delta _{2}}{\Delta }},\ \ x_{3}={\frac {\Delta _{3}}{\Delta }}}$

Приклад:

${\displaystyle {\begin{cases}2x_{1}+5x_{2}+4x_{3}=30\\x_{1}+3x_{2}+2x_{3}=150\\2x_{1}+10x_{2}+9x_{3}=110\\\end{cases}}}$

Визначники:

${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}2&5&4\\1&3&2\\2&10&9\\\end{vmatrix}}=5,\ \ \Delta _{1}={\begin{vmatrix}30&5&4\\150&3&2\\110&10&9\\\end{vmatrix}}=-760,\ \ \Delta _{2}={\begin{vmatrix}2&30&4\\1&150&2\\2&110&9\\\end{vmatrix}}=1350,\ \ \Delta _{3}={\begin{vmatrix}2&5&30\\1&3&150\\2&10&110\\\end{vmatrix}}=-1270.}$

${\displaystyle x_{1}=-{\frac {760}{5}}=-152,\ \ x_{2}={\frac {1350}{5}}=270,\ \ x_{3}=-{\frac {1270}{5}}=-254}$

Знаходження оберненої матриці

Докладніше: (Невироджена матриця#Методи обернення матриці)

Нехай ${\displaystyle A}$ — ${\displaystyle n\times n}$ матриця з елементами в полі ${\displaystyle \mathbb {F} }$. Тоді

${\displaystyle A\operatorname {adj} (A)=\operatorname {adj} (A)A=\det(A)I,}$

де ${\displaystyle \operatorname {adj} (A)}$ — приєднана матриця, ${\displaystyle \det(A)}$ — визначник матриці ${\displaystyle A}$, а ${\displaystyle I}$ — одинична матриця. Якщо визначник ${\displaystyle \det(A)}$ ненульовий, то оберненою до ${\displaystyle A}$ є матриця

${\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}\operatorname {adj} (A).}$

Це дає формулу для оберненої до ${\displaystyle A}$ матриці, за умови, що ${\displaystyle \det(A)\neq 0}$. Насправді ця формула працює, коли ${\displaystyle \mathbb {F} }$ є комутативним кільцем, за умови, що ${\displaystyle \det(A)}$ є одиницею кільця. Якщо ${\displaystyle \det(A)}$ не є одиницею, то ${\displaystyle A}$ не має оберненої над кільцем (вона може мати обернену над більшим кільцем, в якому деякі не одиничні елементи поля ${\displaystyle \mathbb {F} }$ можуть мати обернені).

Застосування

Явні формули для n=2 та n=3

Розглянемо лінійну систему

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}x+b_{1}y={\color {red}c_{1}},\\a_{2}x+b_{2}y={\color {red}c_{2}},\end{cases}}}$

яка у матричній формі має вигляд

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\color {red}c_{1}\\\color {red}c_{2}\end{bmatrix}}.}$

Нехай значення ${\displaystyle a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}$ ненульове. Тоді, за допомогою визначників, ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ можуть бути знайдені за правилом Крамера як

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}c_{1}}&b_{1}\\{\color {red}c_{2}}&b_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={\frac {{\color {red}c_{1}}b_{2}-b_{1}{\color {red}c_{2}}}{a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}c_{1}}\\a_{2}&{\color {red}c_{2}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\a_{2}&b_{2}\end{vmatrix}}}={\frac {a_{1}{\color {red}c_{2}}-{\color {red}c_{1}}a_{2}}{a_{1}b_{2}-b_{1}a_{2}}}.\end{aligned}}}$

Правила для матриць ${\displaystyle 3\times 3}$ аналогічні. Розглянемо систему

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z&={\color {red}d_{1}},\\a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z&={\color {red}d_{2}},\\a_{3}x+b_{3}y+c_{3}z&={\color {red}d_{3}},\end{matrix}}\end{cases}}}$

яка у матричній формі має вигляд

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\color {red}d_{1}\\\color {red}d_{2}\\\color {red}d_{3}\end{bmatrix}}.}$

Тоді значення ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ та ${\displaystyle z}$ можна знайти наступним чином:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}d_{1}}&b_{1}&c_{1}\\{\color {red}d_{2}}&b_{2}&c_{2}\\{\color {red}d_{3}}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&{\color {red}d_{1}}&c_{1}\\a_{2}&{\color {red}d_{2}}&c_{2}\\a_{3}&{\color {red}d_{3}}&c_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}},\quad }$ та ${\displaystyle \quad z={\frac {\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&{\color {red}d_{1}}\\a_{2}&b_{2}&{\color {red}d_{2}}\\a_{3}&b_{3}&{\color {red}d_{3}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}}.}$

Диференціальна геометрія

Числення Річчі

Правило Крамера використовується в ^[en] при різних розрахунках із залученням символів Крістофеля першого та другого роду.

Зокрема, за правилом Крамера можна довести, що оператор дивергенції на многовиді Рімана є інваріантним відносно заміни координат. Наводимо пряме доведення, опускаючи роль символів Крістофеля. Нехай ${\displaystyle (M,g)}$ — многовид Рімана, з ^[en] ${\displaystyle (x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})}$. Нехай ${\displaystyle A=A^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$ — векторне поле. Використовуємо нотацію Ейнштейна для підсумовування.

Теорема.

Дивергенція векторного поля ${\displaystyle A}$,

${\displaystyle \operatorname {div} A={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}}\right),}$

є інваріантною при заміні координат.

Доведення

Нехай ${\displaystyle (x^{1},x^{2},\dots ,x^{n})\mapsto ({\bar {x}}^{1},\dots ,{\bar {x}}^{n})}$ є (координатним перетворенням) з невиродженою матрицею Якобі. Тоді, відповідно до класичних ^[en], маємо, що ${\displaystyle A={\bar {A}}^{k}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}}$, де ${\displaystyle {\bar {A}}^{k}={\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{j}}}A^{j}}$. Аналогічно, якщо ${\displaystyle g=g_{mk}\,{\rm {d}}x^{m}\otimes {\rm {d}}x^{k}={\bar {g}}_{ij}\,{\rm {d}}{\bar {x}}^{i}\otimes {\rm {d}}{\bar {x}}^{j}}$, то ${\displaystyle {\bar {g}}_{ij}={\frac {\partial x^{m}}{\partial {\bar {x}}^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial {\bar {x}}^{j}}}g_{mk}}$. Запис цього перетворення за допомогою матриць має вигляд ${\displaystyle {\bar {g}}=\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{\text{T}}g\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)}$, звідки випливає, що ${\displaystyle \det {\bar {g}}=\left(\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)\right)^{2}\det g}$. Тепер обчислюємо ${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} A&={\frac {1}{\sqrt {\det g}}}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}\left(A^{i}{\sqrt {\det g}}\right)=\\[1ex]&=\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {1}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}{\bar {A}}^{\ell }\det \!\left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{\!\!-1}\!{\sqrt {\det {\bar {g}}}}\right).\end{aligned}}}$ Щоб продемонструвати, що це дорівнює ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\bar {A}}^{k}{\sqrt {\det {\bar {g}}}}\right),}$ необхідно і достатньо показати, що ${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{k}}}\left({\frac {\partial x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)^{-1}\right)=0\qquad }$ для всіх ${\displaystyle \ell ,}$ що еквівалентно ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)=\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {\partial {\bar {x}}^{k}}{\partial x^{i}}}{\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{k}\partial {\bar {x}}^{\ell }}}.}$ Продиференціювавши ліву частину, отримуємо ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}^{\ell }}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)&=(-1)^{i+j}{\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }\partial {\bar {x}}^{j}}}\det M(i|j)=\\[1ex]&={\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }\partial {\bar {x}}^{j}}}\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {(-1)^{i+j}}{\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)}}\det M(i|j)=(\ast ),\end{aligned}}}$ де ${\displaystyle M(i|j)}$ позначає матрицю, отриману з ${\displaystyle \left({\dfrac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)}$ після видалення ${\displaystyle i}$-го рядка і ${\displaystyle j}$-го стовпця. Але за правилом Крамера ${\displaystyle {\frac {(-1)^{i+j}}{\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right)}}\det M(i|j)}$ є ${\displaystyle (j,i)}$-м елементом матриці ${\displaystyle \left({\frac {\partial {\bar {x}}}{\partial x}}\right)}$. Таким чином, ${\displaystyle {\begin{aligned}(\ast )=\det \left({\frac {\partial x}{\partial {\bar {x}}}}\right){\frac {\partial ^{2}x^{i}}{\partial {\bar {x}}^{\ell }\partial {\bar {x}}^{j}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{j}}{\partial x^{i}}},\end{aligned}}}$ що і завершує доведення.

Обчислення неявних похідних

Розглянемо два рівняння ${\displaystyle F(x,y,u,v)=0}$ та ${\displaystyle G(x,y,u,v)=0}$. Якщо ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$ є незалежними змінними, то можемо визначити ${\displaystyle x=X(u,v)}$ та ${\displaystyle y=Y(u,v)}$.

Вираз для ${\displaystyle {\dfrac {\partial x}{\partial u}}}$ можна знайти, застосувавши правило Крамера.

Обчислення ${\displaystyle {\dfrac {\partial x}{\partial u}}}$

Спочатку обчислимо перші похідні від ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {d}}F&={\frac {\partial F}{\partial x}}{\rm {d}}x+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\rm {d}}y+{\frac {\partial F}{\partial u}}{\rm {d}}u+{\frac {\partial F}{\partial v}}{\rm {d}}v=0,\\{\rm {d}}G&={\frac {\partial G}{\partial x}}{\rm {d}}x+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\rm {d}}y+{\frac {\partial G}{\partial u}}{\rm {d}}u+{\frac {\partial G}{\partial v}}{\rm {d}}v=0,\\{\rm {d}}x&={\frac {\partial X}{\partial u}}{\rm {d}}u+{\frac {\partial X}{\partial v}}{\rm {d}}v,\\{\rm {d}}y&={\frac {\partial Y}{\partial u}}{\rm {d}}u+{\frac {\partial Y}{\partial v}}{\rm {d}}v.\end{aligned}}}$ Підставивши ${\displaystyle {\rm {d}}x}$, ${\displaystyle {\rm {d}}y}$ в ${\displaystyle {\rm {d}}F}$ і ${\displaystyle {\rm {d}}G}$, отримаємо ${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {d}}F&=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right){\rm {d}}u+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right){\rm {d}}v=0,\\{\rm {d}}G&=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right){\rm {d}}u+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right){\rm {d}}v=0.\end{aligned}}}$ Оскільки ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle v}$ незалежні змінні, то коефіцієнти при ${\displaystyle {\rm {d}}u}$ та ${\displaystyle {\rm {d}}v}$ повинні бути нульовими. Отже, можемо записати рівняння для коефіцієнтів: ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}&=-{\frac {\partial F}{\partial u}},\\{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}&=-{\frac {\partial G}{\partial u}},\\{\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}&=-{\frac {\partial F}{\partial v}},\\{\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}&=-{\frac {\partial G}{\partial v}}.\end{aligned}}}$ Тепер, за правилом Крамера, бачимо, що ${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix}-{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\[1ex]-{\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\[1ex]{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}.}$ Тобто, це формула у термінах двох Якобіанів: ${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial (F,G)}{\partial (u,y)}}\right)}{\left({\frac {\partial (F,G)}{\partial (x,y)}}\right)}}.}$ Аналогічні формули можна отримати для ${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial v}}}$, ${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial u}}}$, ${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial v}}.}$

Цілочисельне програмування

Правило Крамера може бути використане для доведення, що задача цілочисельного програмування, матриця обмежень якої є унімодулярною матрицею, а правою частиною є ціле число, має цілочисельні базисні розв'язки. Це значно спрощує розв'язання цілочисельної програми.

Звичайні диференціальні рівняння

Правило Крамера використовується для виведення загального розв'язку неоднорідного лінійного диференціального рівняння методом варіації параметрів (метод варіації довільних сталих).

Геометрична інтерпретація

Геометрична інтерпретація правила Крамера. Площі другого та третього заштрихованих паралелограмів однакові, а площа другого дорівнює площі першого домноженій на ${\displaystyle x_{1}}$. З цієї рівності випливає правило Крамера.

Правило Крамера має геометричну інтерпретацію, яку також можна розглядати як доведення або для розуміння його геометричного змісту. Ці геометричні аргументи працюють загалом, а не лише у випадку двох рівнянь із двома невідомими, що представлений тут.

Задану систему рівнянь

${\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}&=b_{1},\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}&=b_{2}\end{matrix}}\end{cases}}}$

можна розглядати як рівняння між векторами

${\displaystyle x_{1}\left({\begin{matrix}a_{11}\\a_{21}\end{matrix}}\right)+x_{2}\left({\begin{matrix}a_{12}\\a_{22}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\end{matrix}}\right).}$

Площа паралелограма, визначеного векторами ${\displaystyle \left({\begin{matrix}a_{11}\\a_{21}\end{matrix}}\right)}$ і ${\displaystyle \left({\begin{matrix}a_{12}\\a_{22}\end{matrix}}\right)}$, задається визначником системи рівнянь:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\[1ex]a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}.}$

У загальному випадку, коли є більше змінних та рівнянь, визначник з ${\displaystyle n}$ векторів довжини ${\displaystyle n}$ — це об'єм паралелепіпеда, що побудований на цих векторах в ${\displaystyle n}$-вимірному евклідовому просторі.

Отже, площа паралелограма, визначеного ${\displaystyle x_{1}\left({\begin{matrix}a_{11}\\a_{21}\end{matrix}}\right)}$ і ${\displaystyle \left({\begin{matrix}a_{12}\\a_{22}\end{matrix}}\right)}$, дорівнює ${\displaystyle x_{1}}$ помножено на площу першого, оскільки одну зі сторін помножили на цей коефіцієнт. Тепер останній паралелограм, за принципом Кавальєрі, має ту ж площу, що і паралелограм, визначений через ${\displaystyle \left({\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\end{matrix}}\right)=x_{1}\left({\begin{matrix}a_{11}\\a_{21}\end{matrix}}\right)+x_{2}\left({\begin{matrix}a_{12}\\a_{22}\end{matrix}}\right)\quad }$ та ${\displaystyle \quad \left({\begin{matrix}a_{12}\\a_{22}\end{matrix}}\right).}$

Прирівнювання площ останнього та другого паралелограма дає рівняння

${\displaystyle {\begin{vmatrix}b_{1}&a_{12}\\[1ex]b_{2}&a_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a_{11}x_{1}&a_{12}\\[1ex]a_{21}x_{1}&a_{22}\end{vmatrix}}=x_{1}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\[1ex]a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}},}$

з якого випливає правило Крамера.

Інші доведення