Обхват (теорія графів)

Обхват в теорії графів — довжина найкоротшого циклу, що міститься в заданому графі. Якщо граф не містить циклів (тобто є ациклічним графом), його обхват за визначенням дорівнює нескінченності. Наприклад, 4-цикл (квадрат) має обхват 4. Квадратна ґратка має також обхват 4, а трикутна сітка має обхват 3. Граф з обхватом чотири і більше не містить трикутників.

Клітки

Кубічні графи (всі вершини мають степінь три) з якомога меншим обхватом ${\displaystyle g}$ відомі як ${\displaystyle g}$-клітка (або як (3,${\displaystyle g}$)-клітка). Граф Петерсена — це єдина 5-клітка (найменший кубічний граф з обхватом 5), граф Хівуда — це єдина 6-клітка, (Граф Маꥳ) — це єдина 7-клітка, а (граф Татта — Коксетера) — це єдина 8-клітка. Може існувати кілька кліток для даного обхвату. Наприклад, існує три неізоморфних 10-клітки, кожна з 70 вершинами — ^[en], ^[en] і ^[en].

• Граф Петерсена має обхват 5
• Граф Хівуда має обхват 6
• (Граф Маꥳ) має обхват 7
• (Граф Татта — Коксетера) (8-клітка Татта) має обхват 8

Обхват і розфарбовування графа

Для будь-якого додатного цілого ${\displaystyle k}$ існує граф ${\displaystyle G}$ з обхватом ${\displaystyle g(G)\geqslant k}$ і хроматичним числом ${\displaystyle \chi (G)\geqslant k}$. Наприклад, (граф Ґрьоча) є графом без трикутників і має хроматичне число 4, а багаторазове повторення побудови (мичельськіана), що використовується для створення графа Ґрьоча, утворює графи без трикутників з як завгодно великим хроматичним числом. Пол Ердеш довів цю теорему, використовуючи імовірнісний метод.

План доведення. Назвемо цикли довжиною не більше ${\displaystyle k}$ короткими, а множини з ${\displaystyle |G|/k}$ і більше вершин — великими. Для доведення теореми достатньо знайти граф ${\displaystyle G}$ без коротких циклів і великих незалежних множин вершин. Тоді множина кольорів в розфарбовуванні не будуть більшими, і, як наслідок, для розфарбування потрібно ${\displaystyle k}$ кольорів.

Щоб знайти такий граф, будемо фіксувати ймовірність вибору ${\displaystyle p}$, що дорівнює ${\displaystyle n^{\varepsilon -1}}$. При маленьких ${\displaystyle \varepsilon }$ в ${\displaystyle G}$ виникає лише мале число коротких циклів. Якщо тепер видалити по вершині з кожного такого циклу, отриманий граф ${\displaystyle H}$ не матиме коротких циклів, а його число незалежності буде не менше, ніж у графа ${\displaystyle G}$.

Пов'язані концепції

Непарний обхват і парний обхват графа — це коли довжина найменшого непарного циклу і найменшого парного циклу відповідно.

Окружність графа — це довжина найбільшого по довжині циклу, а не найменшого.

Спроби оцінити довжину найменшого нетривіального циклу можна розглядати як узагальнення 1-систоли або більшої систоли в ^[en].

Примітки

1. R. Diestel, Graph Theory, p.8. 3rd Edition, Springer-Verlag, 2005
2. , архів оригіналу за 4 серпня 2020, процитовано 30 жовтня 2015
3. , , архів оригіналу за 4 серпня 2020, процитовано 30 жовтня 2015. Electronic supplement to the book Distance-Regular Graphs (Brouwer, Cohen, and Neumaier 1989, Springer-Verlag).
4. (Erdős, Paul) (1959), Graph theory and probability, Canadian Journal of Mathematics, 11: 34—38, doi:10.4153/CJM-1959-003-9.