Хроматичне число

Хроматичне число графа G — мінімальна кількість кольорів, в які можна розфарбувати вершини графа G таким чином, щоб кінці будь-якого ребра мали різні кольори. Позначається як χ(G).

Розфарбовування графа Петерсена у 3 кольори.

Визначення

Хроматичне число графа — мінімальне число ${\displaystyle k}$, таке що множину ${\displaystyle V}$ вершин графа можна розбити на ${\displaystyle k}$ класів ${\displaystyle C_{1},C_{2},\ldots ,C_{k}}$, що не перетинаються:

${\displaystyle V=\bigcup _{i}^{}C_{i};\ C_{i}\cap C_{j}=\varnothing ,}$

таких, що вершини в кожному класі незалежні, тобто будь-яке ребро графа не з'єднує вершини одного й того ж класу.

Пов'язані визначення

• K-розфарбовний граф — граф, хроматичне число якого не перевищує ${\displaystyle K}$. Тобто його вершини можна розфарбувати ${\displaystyle K}$ різними кольорами так, що кінці будь-якого ребра будуть різних кольорів.
• K-хроматичний граф — граф, хроматичне число якого дорівнює ${\displaystyle K}$.

Реброве розфарбування

Реброве розфарбування кубічного графа

Хроматичний клас графа G — мінімальна кількість кольорів , в які можна розфарбувати ребра графа G так, щоб суміжні ребра були різних кольорів. Позначається χ'(G). Проблема ребрового розфарбування довільного плаского кубічного графа без мостів трьома кольорами еквівалентна відомій Проблемі чотирьох фарб. Реброве розфарбування визначає 1-факторизацію графа.

Хроматичний многочлен

Докладніше: Хроматичний многочлен

Цей граф може бути розфарбувати у 3 кольори 12-ма способами.

Якщо розглядати кількість відмінних розфарбувань позначеного графа як функцію від доступної кількості кольорів t, то з'ясується, що ця функція завжди буде поліномом від t. Цей факт був виявлений Біркгофом і Д. С. Люїсом-мол. при спробі довести гіпотезу чотирьох фарб.

Розглянемо граф, зображений на малюнку. Використовуючи лише три кольори, існує 12 варіантів розфарбування. З двома кольорами його взагалі не можна розфарбувати. З чотирма, він може бути розфарбований у 24 + 4*12 = 72 спосіб: використання всіх чотирьох дає 4! = 24 правильних розфарбувань; і для кожного вибору 3-х з 4-х доступних кольорів маємо 12 варіантів. Таким чином, таблиця кількості правильних розфарбувань виглядає таким чином:

Доступно кольорів	1	2	3	4	…
Кількість розфарбувань	0	0	12	72	…

Хроматичний многочлен — функція P(G, t), яка рахує кількість t-розфарбувань G. Для графа з малюнка P(G, t) = t(t − 1)²(t − 2), і насправді, P(G, 4) = 72.

Хроматичні многочлени деяких графів

Трикутник ${\displaystyle K_{3}}$	${\displaystyle t(t-1)(t-2)}$
Повний граф ${\displaystyle K_{n}}$	${\displaystyle t(t-1)(t-2)...(t-(n-1))}$
Дерево с ${\displaystyle n}$ вершинами	${\displaystyle t(t-1)^{n-1}}$
Цикл ${\displaystyle C_{n}}$	${\displaystyle (t-1)^{n}+(-1)^{n}(t-1)}$
Граф Петерсена	${\displaystyle t(t-1)(t-2)(t^{7}-12t^{6}+67t^{5}-230t^{4}+529t^{3}-814t^{2}+775t-352)}$

Узагальнення

Також хроматичне число можна розглядати для інших об'єктів, наприклад, для метричних просторів. Так хроматичним числом площини називається мінімальне число χ таке, що існує розфарбування всіх точок площини в один із χ кольорів і при цьому ніякі дві точки одного кольору не розташовані на відстані 1 одна від одної (площина не містить монохроматичних відрізків довжини 1). Аналогічно для простору будь-якої розмірності.

Значення для теорії графів

Багато глибоких задач теорії графів легко формулюються в термінах розфарбовування. Найвідоміша з-посеред таких задач, проблема чотирьох фарб, на сьогодні розв'язана, однак з'являються нові, наприклад, узагальнення проблеми чотирьох фарб, (гіпотеза Хадвігера).

Див. також

• Критичний граф
• (Дробове розфарбування)

Примітки

1. Birkhoff, G. D. and Lewis, D. C. «Chromatic Polynomials.» Trans. Amer. Math. Soc. 60, 355—451, 1946.