Розфарбуванням простого графу G називають таке приписування кольорів (або натуральних чисел) його вершинам, що ніякі дві суміжні вершини не набувають однакового кольору. Найменшу можливу кількість кольорів у розфарбуванні називають хроматичним числом.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODVMemt3TDFCbGRHVnljMlZ1WDJkeVlYQm9Yek10WTI5c2IzSnBibWN1YzNabkx6SXlNSEI0TFZCbGRHVnljMlZ1WDJkeVlYQm9Yek10WTI5c2IzSnBibWN1YzNabkxuQnVadz09LnBuZw==.png)
Теорема
Якщо найбільший зі степенів вершини графу дорівнює p, то цей граф можна розфарбувати в p+1 колір.
Доведення
Застосуємо індукцію за кількістю вершин графу. Нехай граф G має n вершин; вилучимо з нього довільну вершину u разом з усіма інцидентними їй ребрами. Отримаємо граф з n-1 вершиною, степінь кожної вершини не більший ніж p. За припущенням індукції цей граф можна розфарбувати в p+1 колір. Отже, у p+1 колір можна розфарбувати й граф G, якщо розфарбувати вершину u кольором, що відрізняється від тих, якими розфарбовано суміжні з нею вершини (а їх разом не більше ніж p).
Теорема Р. Хейвуда
Будь-який планарний граф можна розфарбувати в п'ять кольорів, тобто χ(G)≤5 для будь-якого планарного графу G.
Доведення
Доведення цієї теореми ґрунтується на тому, що в будь-якому простому планарному графі є вершина, степінь якої не більший ніж п'ять. Застосуємо математичну індукцію за кількістю вершин графу. Теорема справджується для графів із не більше ніж n вершинами, де n≥5. Розглянемо довільний плоский граф G з (n+1) вершиною. Він містить вершину u_0, степінь якої не більший ніж п'ять. Нехай W =Г(u_0)- множина вершин, суміжних із вершиною u_0 в графі G. Розглянемо наступний випадок. | W |≤4. Позначимо як G — u_0 граф, отриманий із графу G вилученням вершини u_0 та всіх інцидентних їй ребер. За індуктивним припущенням граф G — u_0 можна розфарбувати в п'ять кольорів. Зафіксуємо одне з таких розфарбувань і зафарбуємо вершину u_0 в той із п'яти кольорів, який не використано для фарбування вершин із множини W.
Теорема
Нехай G — простий граф, а u та w — його несуміжні вершини. Якщо граф G_1 отримано з G за допомогою з'єднання вершин u та wребром, а граф G_2 — ототожненням вершини u та w (і кратних ребер, якщо їх буде одержано), то P_G(k)=P_G1(k)+P_G2(k).
Доведення
За будь-якого допустимого розфарбовування вершин графу G існує альтернатива: u та w мають різні кольори, або той самий. Кількість розфарбовувань, за яких u та w мають різні кольори, не зміниться, якщо долучити ребро {u, w}. Отже, ця кількість дорівнює P_G1(k). Аналогічно, кількість розфарбовувань, за яких u та w мають один колір, не зміниться, якщо ототожнити u та w. Залишилось застосувати комбінаторне правило суми. Теорему доведено.
Наслідок
Хроматична функція простого графу — поліном. P_G(k) — хроматичний поліном .Якщо граф G має n вершин, то степінь полінома P_G(k) дорівнює n. Коефіцієнт kn дорівнює 1, а при kn-1 дорівнює m, де m — кількість ребер графу G; знаки коефіцієнтів чергуються; вільний член хроматичного полінома дорівнює 0. Хроматичний поліном будують на основі теореми 3.19 у вигляді суми хроматичних поліномів повних графів.
Див. також
- (Жадібне розфарбовування)
- (Колове розфарбовування)
- (Мичельськіан)
- (Ніде не нульовий потік)
- (Однозначно розфарбовуваний граф)
- Проблема чотирьох фарб
- Теорема де Брейна — Ердеша (теорія графів)
- Хроматичне число
- (Цілком упорядковуваний граф)
Література
- Ю. В. Нікольський, В. В. Пасічник, Ю. М. Щербина «Дискретна математика», 2007.
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
В іншому мовному розділі є повніша стаття Graph coloring(англ.). Ви можете допомогти, розширивши поточну статтю за допомогою з англійської.
|
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет