Нерівність Маркова

Нері́вність Ма́ркова у теорії ймовірності дає оцінку ймовірності того, що випадкова величина перевищить за модулем фіксовану додатну константу, в термінах її математичного сподівання. Отримувана оцінка зазвичай досить груба. Проте, вона дозволяє отримати певне уявлення про розподіл, коли він не є явно відомим.

Формулювання

В термінах теорії міри, нерівність Маркова стверджує, що для вимірного простору ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}})}$ з мірою ${\displaystyle \displaystyle \mu }$ заданій на ньому, вимірної узагальнено-дійснозначної функції f і t > 0, маємо

${\displaystyle \mu (\{x\in X:|f(x)|\geq t\})\leq {1 \over t}\int _{X}|f|\,d\mu .}$

У випадку коли міра простору 1 (тобто, маємо справу з ймовірносним простором), твердження нерівності можна представити: нехай випадкова величина ${\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} }$ визначена на ймовірносному просторі ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$, і її математичне сподівання скінченне. Тоді для a>0

${\displaystyle \mathbb {P} \left(|X|\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} |X|}{a}}}$,

де ${\displaystyle a>0}$.

якщо розглянути випадкову величину ${\displaystyle \displaystyle X-{\textrm {E}}(X)}$, то отримаємо (нерівність Чебишева):

${\displaystyle {\textrm {P}}(|X-{\textrm {E}}(X)|\geq a)\leq {\frac {{\textrm {Var}}(X)}{a^{2}}}.}$

Доведення

Мовою теорії ймовірності

З означення сподівання:

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}$

Однак, X невід'ємна випадкова змінна тому,

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx=\int _{0}^{\infty }xf(x)\,dx}$

З цього отримуємо,

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{0}^{a}xf(x)\,dx+\int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }xf(x)\,dx\geq \int _{a}^{\infty }af(x)\,dx=a\int _{a}^{\infty }f(x)\,dx=a\operatorname {P} (X\geq a)}$

Тепер легко видно, що

${\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)\leq \operatorname {E} (X)/a}$

Мовою теорії міри

Припустимо, що функція ${\displaystyle f}$ невід'ємна, оскільки у рівнянні з'являються лише абсолютні значення. Тепер, розглянемо дійснозначиму функцію ${\displaystyle s}$ на ${\displaystyle X}$ задану через

${\displaystyle s(x)={\begin{cases}\varepsilon ,&f(x)\geq \varepsilon \\0,&f(x)<\varepsilon \end{cases}}}$

Тоді ${\displaystyle 0\leq s(x)\leq f(x)}$. Згідно з визначенням інтеграла Лебега

${\displaystyle \int _{X}f(x)\,d\mu \geq \int _{X}s(x)\,d\mu =\varepsilon \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \varepsilon \})}$

і, з того, що ${\displaystyle \varepsilon >0}$, обидві сторони можна поділити на ${\displaystyle \varepsilon }$, отримуючи

${\displaystyle \mu (\{x\in X:\,f(x)\geq \varepsilon \})\leq {1 \over \varepsilon }\int _{X}f\,d\mu .}$

Приклад

Хай ${\displaystyle X\geqslant 0}$ — невід'ємна випадкова величина. Тоді, узявши ${\displaystyle a=2\operatorname {E} (X)}$, отримаємо

${\displaystyle \operatorname {P} (X\geqslant 2\operatorname {E} (X))\leqslant {\frac {1}{2}}}$.

Див. також

• Нерівність Чебишова
• Марков Андрій Андрійович

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)