Лінійний простір — це базова структура геометрії інцидентності. Лінійний простір складається з множини елементів, званих точками, і множини елементів, званих прямими. Всі прямі є різними підмножинами точок. Кажуть, що точки прямої інцидентні прямій. Будь-які дві прямі можуть мати не більше однієї спільної точки. Інтуїтивно це правило можна продемонструвати як дві прямі на евклідовій площині, які ніколи не перетинаються більш ніж в одній точці.
(Скінченні) лінійні простори можна розглядати як узагальнення проєктивної та [en], і в ширшому значенні, як 2--блок-схеми, для яких потрібно, щоб кожен блок містив однакову кількість точок і суттєвою структурною характеристикою є те, що дві точки інцидентні рівно одній прямій.
Термін лінійний простір увів 1964 року [fr], хоча багато результатів щодо лінійних просторів значно давніші.
Визначення
Нехай — структура інцидентності, для якої елементи P називають точками, а елементи G називають прямими. L є лінійним простором, якщо виконуються такі три аксіоми:
- (L1) Дві точки інцидентні рівно одній прямій.
- (L2) Будь-яка пряма інцидентна принаймні двом точкам.
- (L3) L містить принаймні дві прямі.
Деякі автори опускають (L3) стосовно лінійних просторів. У цьому випадку лінійні простори, що дотримуються (L3), вважають нетривіальними, а ті, що не дотримуються, — тривіальними.
Приклади
Звичайна евклідова площина з її точками та прямими утворює лінійний простір, більш того, всі афінні та проєктивні простори є лінійними просторами.
Таблиця нижче показує всі можливі нетривіальні простори з п'яти точок. Оскільки будь-які дві точки завжди інцидентні одній прямій, прямі, інцидентні лише двом точкам, не показано. Тривіальний випадок — пряма через п'ять точок.
У першому прикладі десять прямих, що з'єднують десять пар точок, не намальовано. На другій ілюстрації не намальовано сім прямих, що з'єднують сім пар точок.
![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
10 прямих | 8 прямих | 6 прямих | 5 прямих |
Лінійний простір з n точок, що містить пряму, інцидентну n − 1 точкам, називають майже пучком. (Див. «Пучок»)
![]() |
Майже пучок із 10 точками |
Властивості
Теорема де Брейна — Ердеша показує, що в будь-якому скінченному лінійному просторі , яка не є окремою точкою чи окремою прямою, маємо
.
Див. також
Примітки
Література
- Ernest E. Shult. Points and Lines. — Springer, 2011. — (Universitext) — . — DOI:
- Albrecht Beutelspacher. Einführung in die endliche Geometrie II. — Bibliographisches Institut, 1983. — С. 159. — .
- [en], [en]. A Course in Combinatorics. — Cambridge University Press, 1992. — С. 188. — .
- L. M. Batten, Albrecht Beutelspacher. The Theory of Finite Linear Spaces. — Cambridge : Cambridge University Press, 1992.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет