Колінеарні вектори

Два вектори називаються колінеа́рними, якщо вони лежать на паралельних прямих або на одній прямій. Колінеарні вектори можуть бути співнаправленими чи протилежно направленими («антипаралельними»).

Позначення

• Колінеарні вектори: ${\displaystyle {\vec {a}}||{\vec {b}}}$
• Співнаправлені вектори: ${\displaystyle {\vec {a}}\uparrow \uparrow {\vec {b}}}$
• Протилежно направлені вектори: ${\displaystyle {\vec {a}}\uparrow \downarrow {\vec {b}}}$

Властивості

Якщо ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ — вектори простору ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$. Тоді справджується:

• Колінеарність — відношення еквівалентності.
• Нульовий вектор колінеарний довільному вектору: ${\displaystyle {\vec {a}}||{\vec {0}}.}$
• Скалярний добуток колінеарних векторів ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=\pm ab}$ дорівнює добутку довжин векторів (взятих зі знаком «—», якщо вектори антиколінеарні)
• Критерій колінеарності двох векторів: векторний добуток колінеарних векторів ${\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=0}$.
• Критерій колінеарності двох векторів: колінеарні вектори є лінійно залежними.
• На площині 2 неколінеарних вектори ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}}$ утворюють базис. Це означає, що довільний вектор ${\displaystyle {\vec {c}}}$ можна представити у вигляді: ${\displaystyle {\vec {c}}=x_{1}{\vec {a}}+x_{2}{\vec {b}}}$. Тоді ${\displaystyle \;\{x_{1},x_{2}\}}$ будуть координатами ${\displaystyle {\vec {c}}}$ в даному базисі.

Див. також

• Компланарність
• Гвинтове числення