Гвинтове числення

Гвинтове числення — розділ векторного числення, в якому вивчаються операції над гвинтами.

Означення

Геометричний образ - еквівалент системи векторів, представлюваний для будь-якої точки простору головним вектором й головним моментом системи відносно цієї точки, називається мотором (сполучення слів "момент" й "вектор").

Якщо система ковзних векторів приведена до точки, яка лежить на центральній осі, то головний момент є колінеарним головному векторові. Мотор ${\displaystyle (\mathrm {r} ,\mathrm {r} _{0})}$, у якого момент ${\displaystyle \mathrm {r} _{0}}$ є колінеарним вектору, називається гвинтом.

Гвинт — впорядкована пара колінеарних векторів ${\displaystyle (\mathrm {r} ,\mathrm {r} _{0})}$, прикладених в певній точці. Вектор ${\displaystyle \mathrm {r} }$ називається вектором гвинта, пряма, що визначається цим [ковзним] вектором (${\displaystyle \mathrm {r} }$ лежить на прямій) — віссю гвинта, а вектор ${\displaystyle \mathrm {r} _{0}}$ — моментом гвинта. З колінеарності даних векторів випливає, що ${\displaystyle \mathrm {r} _{0}=p\mathrm {r} }$. Число ${\displaystyle p}$ називається параметром гвинта і є скалярним множником. Величина цього множника є додатною, якщо ${\displaystyle \mathrm {r} }$ та ${\displaystyle \mathrm {r} _{0}}$ спрямовані у одну й ту саму сторону, та від'ємною, якщо вони спрямовані у різні сторони.

Кліфорд увів операцію, за допомогою якої мотор ${\displaystyle (\mathrm {r} ,\mathrm {r} _{0})}$ виражається формально у вигляді комплексного вектора

${\displaystyle \mathrm {r} +\omega \mathrm {r} _{0},}$

де ${\displaystyle \omega }$ - множник, квадрат якого дорівнює нулю. Якщо оперувати із такого роду комплексним вектором як із формальною сумою, то ${\displaystyle \omega }$ буде відігравати роль числа, яке має властивість ${\displaystyle \omega ^{2}=0.}$

Означення через алгебру дуальних чисел

Гвинт можна уявити як дуальний вектор виду ${\displaystyle \mathrm {r} +\varepsilon \mathrm {r} _{0}}$, що дозволяє ввести над гвинтами операції, аналогічні операціям над векторами.

• ${\displaystyle \mathrm {r} +\varepsilon \mathrm {r} _{0}=\mathrm {r} (1+\varepsilon p)}$

• Число ${\displaystyle |\mathrm {r} |e^{\varepsilon p}}$ називається модулем гвинта.

Література

• Ball R., A Treatise on the Theory of the Screws. Dublin. 1876;
• Joe Rooney William Kingdon Clifford, Department of Design and Innovation, the Open University, London.
• Ravi Banavar notes on Robotics, Geometry and Control [ 29 серпня 2017 у Wayback Machine.]