Класифікація Петрова описує можливі алгебричні симетрії тензора Вейля для кожної події на псевдорімановому многовиді Ця

Класифікація Петрова — описує можливі алгебричні симетрії тензора Вейля для кожної події на псевдорімановому многовиді.

Ця класифікація найактивніше використовується при вивченні точних розв'язків рівнянь Ейнштейна, хоча взагалі кажучи являє собою абстрактний математичний результат, не залежний від будь-якої фізичної інтерпретації. Класифікація була вперше запропонована в 1954 році О. З. Петровим і в 1957 незалежно Феліксом Пирані.

Теорема про класифікацію

Тензор рангу 4, що є антисиметричним за першою і другою парою індексів, наприклад тензор Вейля, в кожній точці многовиду можна подати як лінійний оператор $C$ : $T_{p}\times T_{p}\rightarrow T_{p}\times T_{p}$ , що діє у векторному просторі бівекторів:

X^{ab}\rightarrow {\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}X^{mn}

В цьому випадку природно поставити задачу знаходження власних значень $\lambda$ і власних векторів (або власних бівекторів) $X^{ab}$ , таких що

{\frac {1}{2}}\,{C^{ab}}_{mn}\,X^{mn}=\lambda \,X^{ab}

У чотиривимірних псевдоріманових многовидах в кожній точці простір бівекторів шестивимірний. Однак, симетрії тензора Вейля обмежують розмірність простору власних бівекторів до чотирьох. Таким чином, тензор Вейля в даній точці може мати максимум чотири лінійно незалежних власних бівектора.

Точно так само як у звичайній теорії власних векторів лінійного оператора, власні бівектори тензора Вейля можуть бути кратними. Кратність власних бівекторів вказує на деяку додаткову алгебричну симетрію тензора Вейля в даній точці; це означає, що тип симетрії тензора Вейля можна визначити, розв'язуючи рівняння 4-го порядку для його власних значень.

Посилання

Coley, A. та ін. (2004). Classification of the Weyl tensor in higher dimensions. Classical and Quantum Gravity. 21 (7): L35—L42. arXiv:gr-qc/0401008. Bibcode:2004CQGra..21L..35C. doi:10.1088/0264-9381/21/7/L01.
de Smet, P. (2002). Black holes on cylinders are not algebraically special. Classical and Quantum Gravity. 19 (19): 4877—4896. arXiv:hep-th/0206106. Bibcode:2002CQGra..19.4877D. doi:10.1088/0264-9381/19/19/307.
d'Inverno, Ray (1992). Introducing Einstein's Relativity. Oxford: Oxford University Press. ISBN . See sections 21.7, 21.8
Hall, Graham (2004). Symmetries and Curvature Structure in General Relativity (World Scientific Lecture Notes in Physics). Singapore: World Scientific Pub. Co. ISBN . See sections 7.3, 7.4 for a comprehensive discussion of the Petrov classification.
MacCallum, M.A.H. (2000). Editor's note: Classification of spaces defining gravitational fields. General Relativity and Gravitation. 32 (8): 1661—1663. Bibcode:2000GReGr..32.1661P. doi:10.1023/A:1001958823984.
Penrose, Roger (1960). A spinor approach to general relativity. Annals of Physics. 10: 171—201. Bibcode:1960AnPhy..10..171P. doi:10.1016/0003-4916(60)90021-X.
Petrov, A.Z. (1954). Klassifikacya prostranstv opredelyayushchikh polya tyagoteniya. Uch. Zapiski Kazan. Gos. Univ. 114 (8): 55—69. English translation Petrov, A.Z. (2000). Classification of spaces defined by gravitational fields. General Relativity and Gravitation. 32 (8): 1665—1685. Bibcode:2000GReGr..32.1665P. doi:10.1023/A:1001910908054.
Petrov, A.Z. (1969). Einstein Spaces. Oxford: Pergamon. ISBN ., translated by R. F. Kelleher & J. Woodrow.
Stephani, H.; Kramer, D.; MacCallum, M.; Hoenselaers, C.; Herlt, E. (2003). Exact Solutions of Einstein's Field Equations (2nd edn.). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN . See chapters 4, 26