Квадратичне поле — розширення степеня 2 поля раціональних чисел . Будь-яке квадратичне поле має вигляд , де , тобто одержується приєднанням до поля елемента .
, де . Тому будь-яке квадратичне поле має вид , де d — ціле раціональне число вільне від квадратів, що однозначно визначається цим полем. Надалі d вважається саме таким.
При d > 0 поле називається дійсним квадратичним полем, а при d < 0 — уявним полем. Як фундаментальний базис поля тобто базис кільця цілих чисел поля над кільцем цілих раціональних чисел , можна взяти
- при ;
- при .
Дискримінант D поля рівний відповідно d при і 4d при .
Група одиниць
Уявні квадратичні поля — єдиний тип полів (окрім ) із скінченною групою одиниць (тобто групою оборотних елементів кільця цілих чисел поля). Ця група має:
- порядок 4 для і твірну ,
- порядок 6 для і твірну ,
- порядок 2 і твірну (-1) для всіх інших уявних квадратичних полів.
Для дійсних квадратичних полів група одиниць ізоморфна прямому добутку де — група порядку 2, породжена числом -1, і — нескінченна циклічна група, породжена основною одиницею . Наприклад, для поля
Розклад простих ідеалів
Закон розкладу (простих ідеалів) в квадратичному полі допускає просте формулювання: полю можна зіставити символ Кронекера — Якобі. Якщо р — просте число і (D, p) = 1, то ідеал (простий) в при , і розпадається в добуток двох простих ідеалів при . Якщо D ділиться на р, то (p) є квадратом деякого простого ідеала.
(Група класів ідеалів) квадратичного поля вивчена краще, ніж для інших класів полів. У разі уявних квадратичних полів показує, що число класів ідеалів прямує до нескінченності при . Є рівно 9 однокласних уявних квадратичних полів, а саме при d = - 1, -2, -3, -7, - 11, -19, -43, -67, -163 (див. ). Для дійсних квадратичних полів невідомо чи є скінченною множина однокласних полів.
Існує нескінченно багато квадратичних полів (як уявних, так і дійсних), число класів яких ділиться на дане натуральне число.
Див. також
Література
- Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — Москва : Мир, 1987. — 416 с.(рос.)
- Боревич 3. И. Шафаревич. И. Р. Теория чисел. — М., 1985.
- Вейль А. Основы теории чисел = Basic number theory. — Москва : Мир, 1972. — 408 с.(рос.)
- Гекке Э. Лекции по теории алгебраических чисел. — М.:Л., 1940.
- Алгебраическая теория чисел / Под ред. Касселса Дж., Фрелиха А. — М., 1969.
- Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет