У математиці вільним від квадратів, або безквадратним, називається число, яке не ділиться на жоден квадрат, крім 1. Наприклад, 10 — вільне від квадратів, а 18 — ні, оскільки 18 ділиться на 9 = 32. Початок послідовності вільних від квадратів чисел такий:
- 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, … послідовність A005117 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
Теорія кілець узагальнює поняття безквадратності таким чином:
- Елемент r факторіального кільця R називається вільним від квадратів, якщо він не ділиться на нетривіальний квадрат.
Вільні від квадратів елементи також можуть бути схарактеризовані виходячи з їх розкладання на прості множники: будь-який ненульовий елемент r може бути поданий у вигляді добутку простих елементів
- ,
причому всі прості множники p i різні, а — деяка одиниця (оборотний елемент) кільця.
Еквівалентна характеристика чисел, вільних від квадратів
Додатне число n вільне від квадратів тоді і тільки тоді, коли в розкладі цього числа на прості множники жодне просте число не зустрічається більше, ніж один раз. По-іншому це можна висловити так: для будь-якого простого дільника p числа n, число p не є дільником n/p. Або, число n вільне від квадратів тоді і тільки тоді, коли для будь-якого його розкладу на множники n = ab, множники a і b взаємно прості.
Додатне число n вільне від квадратів тоді і тільки тоді, коли , де позначає функцію Мебіуса.
(Ряд Діріхле), який породжує вільні від квадратів числа:
- де — дзета-функція Рімана.
Це зразу видно з добутку Ейлера :
Додатне число n вільне від квадратів тоді і тільки тоді, коли всі абелеві групи (порядку) n ізоморфні одна одній, що виконується в тому і тільки в тому випадку, коли вони всі — циклічні. Це випливає з класифікації скінченнопороджених абелевих груп.
Додатне число n вільне від квадратів тоді і тільки тоді, коли фактор-кільце (див. порівняння за модулем) є добутком полів. Це випливає з (китайської теореми про остачі) і того факту, що кільце — поле тоді і тільки тоді, коли k — просте число.
Для будь-якого додатного числа n множина всіх додатних його дільників є частково впорядкованою, якщо ми порядком вважатимемо відношення «подільності». Ця частково впорядкована множина — завжди дистрибутивна ґратка. Вона — булева алгебра в тому і тільки в тому випадку, коли n вільне від квадратів.
Радикал цілого числа завжди вільний від квадратів.
Щільність вільних від квадратів чисел
Нехай задає число вільних від квадратів чисел на проміжку від 1 до x. Для великого n, 3/4 додатних чисел, менших від n, не діляться на 4, 8/9 цих чисел не діляться на 9 і т. д. Оскільки ці події незалежні, отримуємо формулу:
Можна отримати формулу без дзета-функції:
(див. pi і «O» велике і «o» мале). Згідно з гіпотезою Рімана, оцінку можна поліпшити:
Ось як поводиться різниця числа вільних від квадратів чисел до n і на сайті OEIS: A158819 — (Number of square-free numbers ≤ n) minus round (n / ζ (2)). [ 22 грудня 2019 у Wayback Machine.]
Таким чином асимптотична щільність вільних від квадратів чисел виглядає так:
де — дзета-функція Рімана а (тобто, приблизно 3/5 всіх чисел вільні від квадратів).
Аналогічно, якщо означає число n-вільних чисел (тобто 3-вільні числа не містять кубів) між 1 і x, то:
Кодування двійковими числами
Якщо подати вільне від квадратів число як нескінченний добуток виду
де , а — n-е просте число, то ми можемо вибирати ці коефіцієнти і використовувати їх як біти в бінарному кодуванні:
Наприклад, вільне від квадратів число 42 розкладається як 2 · 3 · 7, або як нескінченний добуток:
21 · 31 · 50 · 71 · 110 · 130 · …;
Таким чином, число 42 кодується послідовністю ... 001011 або 11 в десятковій системі (в бінарному кодуванні біти пишуться навпаки). А оскільки розклад на прості множники кожного числа — унікальний, то унікальним є й бінарний код кожного вільного від квадратів числа.
Зворотне також істинне: оскільки у кожного додатного числа є унікальний бінарний код, його можна декодувати, отримуючи унікальні числа, вільні від квадратів.
Візьмемо знову для прикладу число 42 — на цей раз просто як додатне число. Тоді ми отримуємо бінарний код 101010 — це означає: 20 · 31 · 50 · 71 · 110 · 131 = 3 · 7 · 13 = 273.
З точки зору потужностей, це означає, що потужність множини чисел, вільних від квадратів, збігається з потужністю множини всіх натуральних чисел. Що в свою чергу означає, що кодування вільних від квадратів чисел по порядку — точно є перестановкою множини натуральних чисел.
Гіпотеза Ердеша
Центральний біноміальний коефіцієнт не може бути вільним від квадратів для n>4.
Це припущення Ердеша про безквадратність довели в 1996 році математики Олів'єр Рамаре і Ендрю Гревілл.
Див. також
Література
- Бухштаб А. А. Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 385 с.
Примітки
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет