Функція Мебіуса

Функція Мебіуса ${\displaystyle \mu (n)}$ — мультиплікативна функція, яку застосовують у теорії чисел і комбінаториці, названа на честь німецького математика Мебіуса, який вперше розглянув її у 1831 р.

Означення

${\displaystyle \mu (n)}$ визначена на множині всіх натуральних чисел ${\displaystyle n}$ і набуває значення ${\displaystyle {-1,\;0,\;1}}$ в залежності від вигляду розкладання числа ${\displaystyle n}$ на прості множники:

• ${\displaystyle \mu (n)=1}$, якщо ${\displaystyle n=1}$;
• ${\displaystyle \mu (n)=0}$, якщо ${\displaystyle n}$ ділиться на квадрат простого числа;
• ${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{k}}$, якщо канонічний розклад ${\displaystyle n}$ має вигляд ${\displaystyle n=p_{1}p_{2}...p_{k}}$, де прості множники різні.

Властивості й застосування

Функція Мебіуса мультиплікативна: для довільних взаємно простих чисел ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ виконується рівність

${\displaystyle \mu (ab)=\mu (a)\mu (b).}$

Сума значень функції Мебіуса по всім дільникам цілого числа ${\displaystyle n\geq 2}$ дорівнює нулю:

${\displaystyle \sum _{d|n}\mu (d)=\left\{{\begin{matrix}1,&n=1\\0,&n>1\end{matrix}}\right.}$

Звідси, зокрема, випливає, що для довільної непорожньої скінченної множини кількість різних підмножин, які містять непарне число елементів, дорівнює кількості різних підмножин, які містять парне число елементів — факт, який застосовується у формулі обертання Мебіуса.

Функція Мебіуса пов'язана з функцією Ейлера ${\displaystyle \varphi (n)}$ таким співвідношенням:

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{d|n}\mu (d){\frac {n}{d}},}$

де в правій частині перераховуються всі дільники числа ${\displaystyle n}$.

Обернення Мебіуса

Перша формула обернення Мебіуса

Для арифметичних функцій ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle g}$,

${\displaystyle \ g(n)=\sum _{d|n}f(d)}$

тоді і тільки тоді, коли

${\displaystyle f(n)=\sum _{d\,\mid \,n}\mu (d)g\left({\frac {n}{d}}\right)}$.

Цю рівність також називають принципом обернення Дедекінда-Ліувілля на честь німецького математики Ріхарда Дедекінда (1831—1916) та французького математика Жозефа Ліувілля (1809—1882).

Друга формула обернення Мебіуса

Для дійснозначних функцій ${\displaystyle f(x)}$ і ${\displaystyle g(x)}$, визначених при ${\displaystyle x\geqslant 1}$,

${\displaystyle g(x)=\sum _{n\leqslant x}f\left({\frac {x}{n}}\right)}$

тоді і тільки тоді, коли

${\displaystyle f(x)=\sum _{n\leqslant x}\mu (n)g\left({\frac {x}{n}}\right)}$.