Зачеплення (теорія вузлів)

Вкладення (частіше — його образ) незв'язної суми ${\displaystyle \mu }$ примірників кола в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ або ${\displaystyle S^{3}}$ називається зачепленням кратності ${\displaystyle \mu }$.

Кільця Борромео
Позначення= L6a4
Число ниток = 3
Довжина коси= 6
Число перетинів= 6
Гіперболічний об'єм= 7.327724753
Клас= гіперболічний

Зачеплення Гопфа, в якому кільця з'єднані стрічкою і є її краями.

Трилисник, зчеплений з колом.

Зачеплення кратності ${\displaystyle \mu =1}$ називається вузлом.

Вузли, складові даного зачеплення, називаються його компонентами.

^[ru] класи зачеплень називаються типами зачеплень. Зачеплення одного типу називаються еквівалентними.

Зачеплення, що складається з деяких компонент зачеплення ${\displaystyle L}$, називається його частковим зачепленням.

Кажуть, що зачеплення (або розщеплюється), якщо два його часткових зачеплення розділені в ${\displaystyle S^{3}}$ двовимірною сферою.

Деякі типи зачеплень

• Зачеплення «${\displaystyle 0,\;0,\;\ldots ,\;0}$», що лежить у площині в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, називається тривіальним.
• Зачеплення називається брунновим, якщо розпадається кожне його часткове зачеплення, крім нього самого.
• Найбільш вивчені кусково-лінійні зачеплення. Розгляд гладких або локально плоских топологічних вкладень в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ приводить до теорії, що збігається з кусково-лінійною.
• Крім площини всяке зачеплення можна розташувати на стандартно вкладеній в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ замкненій поверхні. Наприклад, зачеплення можна розташувати на незавузленому торі або кренделі, тоді таке зачеплення буде називатися відповідно торичним, або крендельним.
• Зачеплення, що лежить на межі трубчастого околу вузла називається обмоткою вузла ${\displaystyle k}$. Зачеплення, яке можна отримати багаторазовим взяттям обмоток, починаючи з тривіального вузла, називається трубчастим, або складним кабельтовим.

Задання зачеплень

Зазвичай зачеплення задаються за допомогою так званих діаграм вузлів і зачеплень. Цей метод тісно пов'язаний з поняттям кіс. Якщо у косі з ${\displaystyle 2n}$ ниток з'єднати вгорі і внизу по ${\displaystyle n}$ пар сусідніх кінців відрізками, то вийде зачеплення, зване ${\displaystyle 2n}$-сплетінням.

Інший спосіб конструювання зачеплень з кіс полягає в замиканні кіс. Якщо між двома паралельними площинами ${\displaystyle \Pi _{1}}$ і ${\displaystyle \Pi _{2}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ взяти ${\displaystyle 2m}$ ортогональних їм відрізків і з'єднати їхні кінці попарно ${\displaystyle m}$ дугами в ${\displaystyle \Pi _{1}}$ і ${\displaystyle m}$ дугами в ${\displaystyle \Pi _{2}}$ без перетинів, то сума всіх дуг і відрізків дасть зачеплення. Зачеплення, що допускає таке подання називається зачепленням з ${\displaystyle m}$ мостами.

Приклади зачеплень

Зачеплення Гопфа
Позначення= L2a1
Число ниток = 2
Довжина коси= 2
Число перетинів= 2
Коефіцієнт зачеплення= 1
Гіперболічний об'єм= 0
Клас= тор

• Зачеплення Гопфа — найпростіше нетривіальне зачеплення з двома і більше компонентами , складається з двох кіл, зачеплених одноразово і назване на честь ^[en].

Вузол Соломона
Число ниток = 4
Довжина коси= 8
Число перетинів= 4
Число розплутування =2
ab-нотація =4²₁
Гіперболічний об'єм= 0
альтернуючий

• Вузол Соломона, два кільця з подвійним зачепленням
• Кільця Борромео — це зачеплення, що складається з трьох топологічних кіл, які зчеплені і утворюють бруннове зачеплення (тобто видалення будь-якого кільця призведе до роз'єднання двох кілець). Іншими словами, ніякі два з трьох кілець не зчеплені як в зачепленні Гопфа, проте, всі разом вони зчеплені.

Примітки

1. Adams, 2004.
2. Kusner, Sullivan, 1998.
3. Прасолов, Сосинский, 1997.
4. Назва виникла з герба роду Борромео, на якому присутні ці кільця.

Література

• Simon Jonathan. Mathematical Approaches to Biomolecular Structure and Dynamics / Jill P. Mesirov, Klaus Schulten, De Witt Sumners. — 1996. — Т. 82. — (The IMA Volumes in Mathematics and its Applications). — DOI:10.1007/978-1-4612-4066-2_4.
• P.G. Tait. Scientific papers. — Cambridge University Press, 1898. — Т. 1.
• C. A. Adams. The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots. — American Mathematical Society, 2004. — .
• Кроуэлл Р., Фокс Р. Введение в теорию узлов / Пер. с англ. — Череповец : Меркурий-Пресс, 2000. — 348 с. — ..
• Мантуров В. О. Теория узлов. — М. : РХД, 2005. — 512 с. — ..
• Мантуров В. О. Лекции по теории узлов и их инвариантов. — М. : Едиториал УРСС, 2001. — 204 с. — ..
• Милнор Дж. Особые точки комплексных гиперповерхностей / Пер. с англ. — М. : Мир, 1971. — 127 с.
• Мандельбаум Р. Четырёхмерная топология / Пер. с англ. — М. : Мир, 1981. — 286 с.
• Hillman J. A. Alexander ideals of links B. — Hdlb. — N. Y., 1981.
• Джонс, Воган Ф. Р. Теория узлов и статистическая механика [ 29 липня 2019 у Wayback Machine.] // Scientific American (издание на русском языке). — № 1. — 1991. — С. 44—50.
• Прасолов В. В., Сосинский А. Б. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия. — М. : МЦНМО, 1997. — .
• Сосинский, А. Б. Узлы и косы. — М. : МЦНМО, 2001. — Т. 10. — 24 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ..
• Статьи «Теория узлов в конце XX века» [ 9 червня 2019 у Wayback Machine.] // . — № 3. — 1999.
• Мантуров В. О. Экскурс в теорию узлов // . — 2004. — Т. 8, № 1. — С. 122—127.
• H. Gruber. Estimates for the minimal crossing number. — 2003. — arXiv:math/0303273.* Kusner R. B., Sullivan J. M. Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York : Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — DOI:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
• Kusner R. B., Sullivan J. M. Topology and geometry in polymer science (Minneapolis, MN, 1996). — New York : Springer, 1998. — Vol. 103. — (IMA Vol. Math. Appl.). — DOI:10.1007/978-1-4612-1712-1_7.
• Yuanan Diao. The additivity of crossing numbers // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2004. — Т. 13, вип. 7. — DOI:10.1142/S0218216504003524.
• Honda K. 3-dimensional methods in contact geometry [ 29 липня 2019 у Wayback Machine.].(англ.)
• Etnyre J. B. Legendrian and Transversal Knots.(англ.)
• Birman J.S. Braids, knots and contact structures.(англ.)
• Weisstein, Eric W. Knot Theory(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.