Замкнена вверх множина

Верхня множина (замкнена вверх множина) — підмножина ${\displaystyle S}$ частково впорядкованої множини ${\displaystyle (P,\leq )}$, яка задовольняє умову:

Верхня множина

${\displaystyle \forall x\in S,y\in P:\quad x\leq y\Rightarrow y\in S.}$

Двоїстим поняттям є — нижня множина.

Властивості

Булеан множини ${\displaystyle \{1,2,3,4\}.}$ верхня множина ${\displaystyle \uparrow \{1\}}$ позначена зеленим. Вона є простим фільтром.

• Перетин верхніх множин є верхньою множиною.
• Доповнення верхньої множини є нижньою множиною і навпаки.
• Сімейство всіх нижніх множин (верхніх множин) впорядкованих за утворює (повну ґратку).
• Найменша верхня множина підмножини Y позначається ↑Y.

Див. також

• (Спрямована множина)
• Антиланцюг
• Ідеал (порядок)
• Фільтр (порядок)

Джерела

• Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)