Закон взаємності

У математиці закон взаємності ― це узагальнення закону квадратичної взаємності на довільні нормовані незвідні поліноми ${\displaystyle f(x)}$ з цілими коефіцієнтами. Нагадаємо, що перший закон взаємності, тобто квадратична взаємність, визначає, коли незвідний многочлен ${\displaystyle f(x)=x^{2}+ax+b}$ розкладається на лінійні члени при зведені за модулем ${\displaystyle p}$. Він визначає для яких простих чисел виконується співвідношення:

${\displaystyle f(x)\equiv f_{p}(x)=(x-n_{p})(x-m_{p})\ ({\text{mod}}\ p).}$

Загальний закон взаємності формулює правило при яких простих числах ${\displaystyle p}$ поліном ${\displaystyle f(x)}$ розкладається на лінійні множники, що позначаються як ${\displaystyle \operatorname {Spl} \{f(x)\}}$.

Існує декілька різних способів представлення законів взаємності. Ранні закони взаємності, знайдені в 19 столітті, зазвичай представлялися у термінах ^[en] ${\displaystyle (p/q)}$, що узагальнює символ Лежандра, який використовується для опису простих чисел, які є залишком ${\displaystyle n}$-го степеня за модулем іншого простого числа, і визначає співвідношення між ${\displaystyle (p/q)}$ і ${\displaystyle (q/p)}$. Гільберт переформулював закони взаємності, вказавши, що добуток над ${\displaystyle p}$ ^[en] ${\displaystyle (a,b/p)}$, які набувають значень серед коренів з одиниці, дорівнюють 1. Артін переформулював закони взаємності як твердження, що символ Артіна від ідеалів (або іделей) до елементів групи Галуа тривіальний на певній підгрупі. Декілька останніх узагальнень виражають закони взаємності, використовуючи когомологію груп або представлення адельних груп або алгебраїчних ${\displaystyle K}$-груп, тому їх зв'язок з оригінальним квадратичним законом взаємності доволі важко побачити.

Квадратична взаємність

Докладніше: квадратична взаємність

У термінах символу Лежандра закон квадратичної взаємності для додатних непарних простих чисел стверджує:

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

Кубічна взаємність

Докладніше: ^[en]

Закон кубічної взаємності для цілих чисел Ейзенштейна стверджує, що якщо ${\displaystyle \alpha }$ і ${\displaystyle \beta }$ є примарними числами (тобто прості числа конґруентні 2 mod 3), то

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{3}=\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)_{3}.}$

Біквадратна взаємність

Докладніше: ^[en]

У термінах біквадратного символу лишку, закон біквадратичної взаємності для цілих гаусових чисел стверджує, що якщо ${\displaystyle \pi }$ і ${\displaystyle \theta }$ є примарними (тобто конґруентними ${\displaystyle 1}$ mod ${\displaystyle (1+{\rm {i}})^{3}}$) простими гаусовими числами, то

${\displaystyle \left[{\frac {\pi }{\theta }}\right]\left[{\frac {\theta }{\pi }}\right]^{-1}=(-1)^{{\frac {N\pi -1}{4}}{\frac {N\theta -1}{4}}}.}$

Взаємність восьмого степеня

Докладніше: ^[en]

Взаємність Ейзенштейна

Докладніше: ^[en]

Нехай ${\displaystyle \zeta }$ ― ${\displaystyle l}$-й корінь із одиниці для деякого непарного простого числа ${\displaystyle l}$. Характер степеня ― степінь числа ${\displaystyle \zeta }$ такий, що

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\mathfrak {p}}}\right)_{l}\equiv \alpha ^{\frac {N({\mathfrak {p}})-1}{l}}\quad ({\rm {mod}}\ {\mathfrak {p}})}$

для будь-якого простого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ з ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]}$. Це поняття поширюється на інші ідеали за допомогою мультиплікативності. Закон взаємності Ейзенштейна стверджує, що

${\displaystyle \left({\frac {a}{\alpha }}\right)_{l}=\left({\frac {\alpha }{a}}\right)_{l}}$

для будь-якого раціонального цілого числа ${\displaystyle a}$ взаємно простого з ${\displaystyle l}$ і будь-якого елемента ${\displaystyle \alpha }$ з ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]}$, який є взаємно простим з ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle l}$, і конґруентним цілому раціональному числу за модулем ${\displaystyle (1-\zeta )^{2}}$.

Взаємність Куммера

Нехай ${\displaystyle \zeta }$ — ${\displaystyle l}$-й корінь із одиниці для деякого непарного регулярного простого числа ${\displaystyle l}$. Оскільки ${\displaystyle l}$ є регулярним числом, то можна узагальнити символ ${\displaystyle \{\}}$ на ідеали єдиним способом так, що

${\displaystyle \left\{{\frac {p}{q}}\right\}^{n}=\left\{{\frac {p^{n}}{q}}\right\},}$

де ${\displaystyle n}$ — деяке ціле число взаємно просте з ${\displaystyle l}$ таке, що ${\displaystyle p^{n}}$ є головним числом. Закон взаємності Куммера стверджує, що

${\displaystyle \left\{{\frac {p}{q}}\right\}=\left\{{\frac {q}{p}}\right\},}$

де ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ будь-які різні прості ідеали з ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta ]}$ відмінні від ${\displaystyle (1-\zeta )}$.

Взаємність Гільберта

Докладніше: ^[en]

У термінах символу Гільберта закон взаємності Гільберта для поля алгебраїчних чисел стверджує, що

${\displaystyle \prod _{v}(a,b)_{v}=1,}$

де добуток відбувається за усіма скінченими і нескінченними (місцями). Над полем раціональних чисел це еквівалентно закону квадратичної взаємності. Щоб побачити це, розглянемо різні непарні прості числа ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$. Тоді закон Гільберта набуває вигляду:

${\displaystyle (p,q)_{\infty }(p,q)_{2}(p,q)_{p}(p,q)_{q}=1.}$

Але ${\displaystyle (p,q)_{p}}$ дорівнює символу Лежандра, ${\displaystyle (p,q)_{\infty }}$ дорівнює ${\displaystyle 1}$, якщо одне з чисел ${\displaystyle p}$ або ${\displaystyle q}$ є додатним, і ${\displaystyle -1}$ в інших випадках, а ${\displaystyle (p,q)_{2}}$ дорівнює ${\displaystyle (-1)^{(p-1)(q-1)/4}}$. Отже, для додатних непарних простих чисел ${\displaystyle p}$ і ${\displaystyle q}$ закон Гільберта є законом квадратичної взаємності.

Взаємність Артіна

Докладніше: ^[en]

Мовою ^[en], ^[en] для скінченного розширення ${\displaystyle L/K}$ стверджує, що відображення Артіна з ^[en] ${\displaystyle C_{K}}$ в (абелізацію) ${\displaystyle {\rm {Gal}}(L/K)^{\rm {ab}}}$ групи Галуа зануляється на ${\displaystyle N_{L/K}(C_{L})}$ та індукує ізоморфізм

${\displaystyle \theta \colon \ C_{K}/{N_{L/K}(C_{L})}\to {\rm {Gal}}(L/K)^{\rm {ab}}.}$

Хоча це не одразу очевидно, але із закону взаємності Артіна випливають всі раніше відкриті закони взаємності, якщо застосовувати його до відповідних розширень ${\displaystyle L/K}$. Наприклад, в частинному випадку, коли ${\displaystyle K}$ містить корені ${\displaystyle n}$-го степеня з одиниці, а ${\displaystyle L=K[a^{1/n}]}$ є розширенням Куммера для ${\displaystyle K}$, то з факту, що відображення Артіна зануляється на ${\displaystyle N_{L/K}(C_{L})}$, випливає закон взаємності Гільберта для символу Гільберта.

Локальна взаємність

Хассе ввів локальний аналог закону взаємності Артіна, який називається локальним законом взаємності. Одна з його форм стверджує, що для скінченного абелевого розширення ${\displaystyle L/K}$ локальних полів, відображення Артіна є ізоморфізмом з ${\displaystyle K^{\times }/N_{L/K}(L^{\times })}$ в групу Галуа ${\displaystyle {\rm {Gal}}(L/K)}$.

Явні закони взаємності

Докладніше: ^[en]

Щоб отримати класичний закон взаємності із закону взаємності Гільберта ${\displaystyle \Pi (a,b)_{p}=1}$ потрібно знати значення ${\displaystyle (a,b)_{p}}$ для ${\displaystyle p}$, що ділить ${\displaystyle n}$. Явні формули для цього іноді називають явними законами взаємності.

Степеневий закон взаємності

Докладніше: ^[en]

Степеневий закон взаємності можна сформулювати як аналог закону квадратичної взаємності у термінах символів Гільберта наступним чином:

${\displaystyle \left({\frac {\alpha }{\beta }}\right)_{n}\left({\frac {\beta }{\alpha }}\right)_{n}^{-1}=\prod _{{\mathfrak {p}}|n\infty }(\alpha ,\beta )_{\mathfrak {p}}.}$

Раціональний закон взаємності

Докладніше: ^[en]

Раціональний закон взаємності формулюється у термінах раціональних цілих чисел без використання коренів з одиниці.

Закон взаємності Шольца

Докладніше: ^[en]

Взаємность Шимури

Докладніше: ^[en]

Закон взаємності Вейля

Докладніше: ^[en]

Взаємність Ленглендса

Докладніше: ^[en]

^[en] включає декілька гіпотез щодо загальних редуктивних алгебраїчних груп, з яких для спеціальної групи ${\displaystyle {\rm {GL}}_{1}}$ випливає закон взаємності Артіна.

Закон взаємності Ямамото

Докладніше: ^[en]

Закон взаємності Ямамото — це закон взаємності пов'язаний з класами чисел квадратичних числових полів.

Див. також

• ^[en]
• ^[en]

Примітки

1. Hiramatsu, Toyokazu; Saito, Seiken (2016-05-04). An Introduction to Non-Abelian Class Field Theory. Series on Number Theory and Its Applications. WORLD SCIENTIFIC. doi:10.1142/10096. .
2. Neukirch (1999) p.~415.

Література

• Frei, Günther (1994), The reciprocity law from Euler to Eisenstein, у Chikara, Sasaki (ред.), , Sci. Networks Hist. Stud., т. 15, Basel: Birkhäuser, с. 67—90, doi:10.1090/S0002-9904-1972-12997-5, ISBN , MR 0308080, Zbl 0818.01002, архів оригіналу за 2 червня 2022, процитовано 2 червня 2022
• Hilbert, David (1897), , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung (German) , 4: 175—546, ISSN 0012-0456, архів оригіналу за 23 січня 2015, процитовано 2 червня 2022
• Hilbert, David (1998), , Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-03545-0, ISBN , MR 1646901, архів оригіналу за 2 червня 2022, процитовано 2 червня 2022
• Lemmermeyer, Franz (2000), , Springer Monographs in Mathematics, Berlin: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-12893-0, ISBN , MR 1761696, Zbl 0949.11002, архів оригіналу за 13 січня 2022, процитовано 2 червня 2022
• Lemmermeyer, Franz, , архів оригіналу за 17 травня 2021, процитовано 2 червня 2022
• Neukirch, Jürgen (1999), Algebraic number theory, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, т. 322, Translated from the German by Norbert Schappacher, Berlin: Springer-Verlag, ISBN , Zbl 0956.11021
• Stepanov, S. A. (2001) [1994], Reciprocity laws, Encyclopedia of Mathematics. EMS Press
• Wyman, B. F. (1972), What is a reciprocity law?, Amer. Math. Monthly, 79 (6): 571—586, doi:10.2307/2317083, JSTOR 2317083, MR 0308084. Correction, ibid. 80 (1973), 281.

Оглядові статті

• Reciprocity laws and Galois representations: recent breakthroughs [ 2 червня 2022 у Wayback Machine.]