Регулярне просте число

У теорії чисел регулярне просте число — будь-яке просте число ${\displaystyle p}$, для якого число класів ідеалів кругового поля не ділиться на ${\displaystyle p}$. Решта простих непарних чисел називають іррегулярними.

Декілька перших регулярних простих чисел:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …

Властивості

Регулярні числа це точно куммерові прості числа, проте доведення цього досить складне. Для перевірки числа на куммеровість можна використати так званий критерій Куммера: ${\displaystyle p}$ куммерове тоді й лише тоді, коли чисельники всіх чисел Бернуллі ${\displaystyle B_{2},B_{4},\dots ,B_{p-3}}$ не діляться на ${\displaystyle p}$.

Припускають, що регулярних простих чисел дуже багато, проте це твердження не доведено.

Регулярні числа ввів Куммер, коли намагався довести теорему Ферма. Одна з отриманих теорем, з урахуванням збігу регулярності та кумеровості, стверджує:

Якщо просте ${\displaystyle p}$ регулярне, то для нього рівняння ${\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}}$ не має розв'язків у натуральних числах.

Іррегулярне просте число

Просте число, яке не є регулярним, називають іррегулярним простим числом. Декілька перших іррегулярних простих чисел:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, …

Єнсен довів, що існує безліч іррегулярних простих чисел.

Іррегулярні пари

Якщо ${\displaystyle p}$ — іррегулярне просте число, то ${\displaystyle p}$ ділить без остачі чисельник числа Бернуллі ${\displaystyle B_{2k}}$ для деякого парного індексу ${\displaystyle 2k}$ в інтервалі ${\displaystyle 0<2k<p-1}$. При цьому пару чисел ${\displaystyle (p,2k)}$ називають іррегулярною парою. Перші кілька іррегулярних пар:

(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), …

Для заданого простого ${\displaystyle p}$ число таких пар називають індексом нерегулярності числа ${\displaystyle p}$. Таким чином, просте число регулярне тоді й лише тоді, коли індекс іррегулярності дорівнює нулю. Аналогічно, просте число іррегулярне тоді й лише тоді, коли його індекс іррегулярності додатний.

Виявлено, що при ${\displaystyle p<30000}$ пара ${\displaystyle (p,p-3)}$ є іррегулярною лише для простого числа Волстенголма ${\displaystyle p=16843}$.

Примітки

1. послідовність A007703 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
2. Kummer, 1850.
3. послідовність A000928 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
4. послідовність A189683 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Література

• Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. — М. : Наука, 1982.
• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М. : Наука, 1985.
• Ernst Kummer. Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x^λ + y^λ = z^λ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen // J. Reine Angew. Math. — 1850. — Вип. 40 (17 липня). — С. 131—138.