Azərbaycanca AzərbaycancaБеларускі БеларускіDansk DanskDeutsch DeutschEspañola EspañolaFrançais FrançaisIndonesia IndonesiaItaliana Italiana日本語 日本語Қазақ ҚазақLietuvos LietuvosNederlands NederlandsPortuguês PortuguêsРусский Русскийසිංහල සිංහලแบบไทย แบบไทยTürkçe TürkçeУкраїнська Українська中國人 中國人United State United StateAfrikaans Afrikaans
Підтримка
www.wikidata.uk-ua.nina.az

Задача Бертрана задача обернена до задачі двох тіл яка полягає у визначенні сили взаємодії за відомими властивостями тра

Задача Бертрана

Задача Бертрана

Задача Бертрана — задача, обернена до задачі двох тіл, яка полягає у визначенні сили взаємодії за відомими властивостями траєкторій руху.

Перша задача Бертрана

Перша задача Бертрана. Знайти закон сил, що залежать тільки від положення рухомої точки, і змушують її описувати конічні перетини, які б не були початкові умови.

Цю задачу успішно розв'язали Дарбу та Альфеном за додаткового припущення, що сила центральна, а потім вдалося відкинути й цю умову. Виявилося, що таких взаємодій дві — закон всесвітнього тяжіння і закон Гука.

Друга задача Бертрана

Припущення про центральність сили, втім, можна було б зробити і з загальних міркувань симетрії задачі.

Друга задача Бертрана. Знаючи, що сила, яка викликає рух планети навколо Сонця, залежить тільки від відстані і така, що вона змушує свою точку прикладання описувати замкнуту криву, які б не були початкові умови, якщо швидкість менша від деякої межі, знайти закон цієї сили.

Відповідь коротка: закон сили може бути або законом Гука або законом всесвітнього тяжіння.

Задачу розв'язав сам Бертран. Найповніший розв'язок наведено в замітці Дарбу до механіки Депейру

Завдання Кенігса

Кенігс (Koenigs G.) запропонував ще загальнішу задачу:

Задача Кенігса. Знаючи, що сила, яка викликає рух планети навколо Сонця, залежить тільки від відстані і така, що вона змушує свою точку прикладання описувати алгебричну криву, які б не були початкові умови, знайти закон цієї сили.

Відповідь виявилась такою самою: закон сили може бути або законом Гука або законом всесвітнього тяжіння.

Вичерпний розв'язок задачі дав сам Кенігс. Ідея доведення зводиться до доведення замкнутості аналітичної фінітної орбіти, що зводить задачу до попередньої.

Історична довідка

Завдання визначення вигляду сил під час руху тіла по орбітах у вигляді конічних перетинів і вигляду орбіт за заданим законом сил сформулював і повністю розв'язав Ісаак Ньютон у I книзі «Математичних начал» з використанням розробленого ним синтетичного методу, що об'єднує геометричні доведення основних теорем математичного аналізу і теорії границь зі створеною ним теорією аналітичних рядів на основі бінома Ньютона.

У відділі III (Про рух тіл по ексцентричних конічних перетинах) доводиться, що рух по конічних перетинах можливий лише для закону обернених квадратів (Пропозиції XI—XIII), або для закону першого степеня (Гука, Пропозиція Х). Причому перший випадок відповідає напрямку сили до фокуса конічного перетину, а другий — до геометричного центра еліпса. У відділі II попередньо доводиться, що рух тіла по частині будь-якої гладкої кривої, що лежить у площині, можна звести до руху в полі деякої центральної сили з притягальним центром на цій площині (Пропозиція VII, Наслідки 2 і 3).

У відділі IX (Про рух тіл по рухомих орбітах і про переміщення апсид) доводиться з використанням аналітичних рядів і граничного переходу від орбіти, близької до кола, до колової, що замкнута орбіта може бути тільки за показника степеня +1 (закон Гука, Приклад 2) або -2 (закон тяжіння, Приклад 3).

У передмові до «Начал» автор перекладу і редактор першого видання «Начал» російською мовою механік О. М. Крилов відзначає, що перший переклад англійською мовою зроблено в 1727 році, французькою — лише в 1759 маркізою дю Шатле, і робота Ньютона сучасними європейськими мовами стала доступною лише через багато десятиліть після першого її видання в 1686 році.

Примітки

  1. Цей розв'язок вдалося спростити ; див. Аппель Механика, Т. 1, п. 232
  2. Despeyrous T. Cours de mécanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886.
  3. Bertrand J. //[en] T. LXXVII. P. 849—853.
  4. Despeyrous T. Cours de mécanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886. P. 461—466. Цю ж задачу подано у вигляді циклу задач до § 8 гл. 2 кн. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: УРСС, 2000.
  5. Koenigs G. // Bull. de la Société de France, t. 17, p. 153—155.
  6. М. Д. Малых. (PDF). Материалы к факультативному курсу лекций, читаемому на кафедре математики физического факультета МГУ. Архів оригіналу (PDF) за 29 березня 2019. Процитовано 13 листопада 2020.
  7. В.И. Арнольд. Параграф 6. Доказал ли Ньютон эллиптичность орбит? // Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. Первые шаги математического анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов. — 1-е. — Москва : Наука, 1989. — 96 с. — (Современная математика для студентов) — 36000 прим. — .
  8. Н.Н. Лузин. Ньютонова теория пределов // Собрание сочинений / М.А. Лаврентьев. — Москва : АН СССР, 1959. — Т. III. — С. 375—402.
  9. С.С. Петрова, Д.А. Романовска. К истории открытия ряда Тейлора / А.И. Юшкевич. — Москва : Наука, 1980. — С. 10—24. — (Историко-математические исследования, выпуск XXV)
  10. Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии = PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA / под. ред. Л.С. Полака, А.Н. Крылова, пер. с лат. А.Н. Крылова. — 4-е. — Москва : URSS, 2016. — 688 с. — .

Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет

Zadacha Bertrana zadacha obernena do zadachi dvoh til yaka polyagaye u viznachenni sili vzayemodiyi za vidomimi vlastivostyami trayektorij ruhu Persha zadacha BertranaPersha zadacha Bertrana Znajti zakon sil sho zalezhat tilki vid polozhennya ruhomoyi tochki i zmushuyut yiyi opisuvati konichni peretini yaki b ne buli pochatkovi umovi Cyu zadachu uspishno rozv yazali Darbu ta Alfenom za dodatkovogo pripushennya sho sila centralna a potim vdalosya vidkinuti j cyu umovu Viyavilosya sho takih vzayemodij dvi zakon vsesvitnogo tyazhinnya i zakon Guka Druga zadacha BertranaPripushennya pro centralnist sili vtim mozhna bulo b zrobiti i z zagalnih mirkuvan simetriyi zadachi Druga zadacha Bertrana Znayuchi sho sila yaka viklikaye ruh planeti navkolo Soncya zalezhit tilki vid vidstani i taka sho vona zmushuye svoyu tochku prikladannya opisuvati zamknutu krivu yaki b ne buli pochatkovi umovi yaksho shvidkist mensha vid deyakoyi mezhi znajti zakon ciyeyi sili Vidpovid korotka zakon sili mozhe buti abo zakonom Guka abo zakonom vsesvitnogo tyazhinnya Zadachu rozv yazav sam Bertran Najpovnishij rozv yazok navedeno v zamitci Darbu do mehaniki DepejruZavdannya KenigsaKenigs Koenigs G zaproponuvav she zagalnishu zadachu Zadacha Kenigsa Znayuchi sho sila yaka viklikaye ruh planeti navkolo Soncya zalezhit tilki vid vidstani i taka sho vona zmushuye svoyu tochku prikladannya opisuvati algebrichnu krivu yaki b ne buli pochatkovi umovi znajti zakon ciyeyi sili Vidpovid viyavilas takoyu samoyu zakon sili mozhe buti abo zakonom Guka abo zakonom vsesvitnogo tyazhinnya Vicherpnij rozv yazok zadachi dav sam Kenigs Ideya dovedennya zvoditsya do dovedennya zamknutosti analitichnoyi finitnoyi orbiti sho zvodit zadachu do poperednoyi Istorichna dovidkaZavdannya viznachennya viglyadu sil pid chas ruhu tila po orbitah u viglyadi konichnih peretiniv i viglyadu orbit za zadanim zakonom sil sformulyuvav i povnistyu rozv yazav Isaak Nyuton u I knizi Matematichnih nachal z vikoristannyam rozroblenogo nim sintetichnogo metodu sho ob yednuye geometrichni dovedennya osnovnih teorem matematichnogo analizu i teoriyi granic zi stvorenoyu nim teoriyeyu analitichnih ryadiv na osnovi binoma Nyutona U viddili III Pro ruh til po ekscentrichnih konichnih peretinah dovoditsya sho ruh po konichnih peretinah mozhlivij lishe dlya zakonu obernenih kvadrativ Propoziciyi XI XIII abo dlya zakonu pershogo stepenya Guka Propoziciya H Prichomu pershij vipadok vidpovidaye napryamku sili do fokusa konichnogo peretinu a drugij do geometrichnogo centra elipsa U viddili II poperedno dovoditsya sho ruh tila po chastini bud yakoyi gladkoyi krivoyi sho lezhit u ploshini mozhna zvesti do ruhu v poli deyakoyi centralnoyi sili z prityagalnim centrom na cij ploshini Propoziciya VII Naslidki 2 i 3 U viddili IX Pro ruh til po ruhomih orbitah i pro peremishennya apsid dovoditsya z vikoristannyam analitichnih ryadiv i granichnogo perehodu vid orbiti blizkoyi do kola do kolovoyi sho zamknuta orbita mozhe buti tilki za pokaznika stepenya 1 zakon Guka Priklad 2 abo 2 zakon tyazhinnya Priklad 3 U peredmovi do Nachal avtor perekladu i redaktor pershogo vidannya Nachal rosijskoyu movoyu mehanik O M Krilov vidznachaye sho pershij pereklad anglijskoyu movoyu zrobleno v 1727 roci francuzkoyu lishe v 1759 markizoyu dyu Shatle i robota Nyutona suchasnimi yevropejskimi movami stala dostupnoyu lishe cherez bagato desyatilit pislya pershogo yiyi vidannya v 1686 roci PrimitkiCej rozv yazok vdalosya sprostiti div Appel Mehanika T 1 p 232 Despeyrous T Cours de mecanique T 2 Paris A Herman 1886 Bertrand J en T LXXVII P 849 853 Despeyrous T Cours de mecanique T 2 Paris A Herman 1886 P 461 466 Cyu zh zadachu podano u viglyadi ciklu zadach do 8 gl 2 kn Arnold V I Matematicheskie metody klassicheskoj mehaniki M URSS 2000 Koenigs G Bull de la Societe de France t 17 p 153 155 M D Malyh PDF Materialy k fakultativnomu kursu lekcij chitaemomu na kafedre matematiki fizicheskogo fakulteta MGU Arhiv originalu PDF za 29 bereznya 2019 Procitovano 13 listopada 2020 V I Arnold Paragraf 6 Dokazal li Nyuton elliptichnost orbit Gyujgens i Barrou Nyuton i Guk Pervye shagi matematicheskogo analiza i teorii katastrof ot evolvent do kvazikristallov 1 e Moskva Nauka 1989 96 s Sovremennaya matematika dlya studentov 36000 prim ISBN 5 02 013935 1 N N Luzin Nyutonova teoriya predelov Sobranie sochinenij M A Lavrentev Moskva AN SSSR 1959 T III S 375 402 S S Petrova D A Romanovska K istorii otkrytiya ryada Tejlora A I Yushkevich Moskva Nauka 1980 S 10 24 Istoriko matematicheskie issledovaniya vypusk XXV Isaak Nyuton Matematicheskie nachala naturalnoj filosofii PHILOSOPHIAE NATURALIS PRINCIPIA MATHEMATICA pod red L S Polaka A N Krylova per s lat A N Krylova 4 e Moskva URSS 2016 688 s ISBN 978 5 9710 4231 0

Дата публікації:
Топ