Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
З'єднання многогранників — геометричне тіло, складене з деяких многогранників, що мають спільний центр. З'єднання є тривимірним аналогом багатокутних з'єднань, таких як гексаграма.
Зовнішні вершини з'єднання можна з'єднати, утворивши опуклий многогранник, який називають опуклою оболонкою. З'єднання є огрануванням опуклої оболонки.
Усередині з'єднання утворюється менший опуклий многогогранник, спільна частина всіх членів з'єднання. Його називають ядром набору зірчастих многогранників .
Правильні з'єднання
Правильне з'єднання многогранників можна визначити як з'єднання, яке, як і в разі правильних многогранників, є [en], реберно-транзитивним та гране-транзитивним. Існує п'ять правильних з'єднань многогранників.
| З'єднання | Малюнок | Сферичне подання | Опукла оболонка | Ядро | Симетрія | Підгрупа для одного складника | Двоїстий |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Два тетраедри (зірчастий октаедр) |  |  | Куб | Октаедр | *432 [4,3] O h | *332 [3,3] T d | Самодвоїстий |
| (П'ять тетраедрів) |  |  | Додекаедр | Ікосаедр | 532 [5,3] + I | 332 [3,3] + T | (Енантіоморфний)хіральний двійник |
 |  | Додекаедр | Ікосаедр | *532 [5,3] I h | 332 [3,3] T | Самодвоїстий | |
| [en] |  |  | Додекаедр | (Ромботриаконтаедр) | *532 [5,3] I h | 3*2 [3,3] T h | П'ять октаедрів |
| [en] |  |  | Ікосододекаедр | Ікосаедр | *532 [5,3] I h | 3*2 [3,3] T h | П'ять кубів |
Найвідомішим є з'єднання двох тетраедрів. Кеплер назвав це з'єднання латиною stella octangula (зірчастий октаедр). Вершини двох тетраедрів задають куб, а їх перетин є октаедром, грані якого лежать на тих самих площинах, що й грані складових тетраедрів. Таким чином, з'єднання є зведенням до зірчастої форми октаедра і фактично його єдиним можливим зведенням.
Зірчастий октаедр можна також розглядати як двоїсто-правильне з'єднання.
(З'єднання п'яти тетраедрів) має дві дзеркальні версії, які разом дають з'єднання десяти тетраедрів. Всі з'єднання тетраедрів самодвоїсті, а з'єднання п'яти кубів двоїсте з'єднанню п'яти октаедрів.
Двоїсті з'єднання
Двоїсте з'єднання — це з'єднання многогранника і двоїстого йому, розташованих взаємно протилежно відносно спільної вписаної або напіввписаної сфери, так що ребро одного многогранника перетинає двоїсте ребро двоїстого многогранника. Існує п'ять таких з'єднань правильних многогранників.
| Компоненти | Малюнок | Опукла оболонка | Ядро | Симетрія |
|---|---|---|---|---|
| Два тетраедри (зірчастий октаедр) | | Куб | Октаедр | *432 [4,3] Oh |
| [en] |  | Ромбододекаедр | Кубооктаедр | *432 [4,3] Oh |
| [en] |  | (Ромботріаконтаедр) | Ікосододекаедр | *532 [5,3] Ih |
| [en] |  | Додекаедр | Ікосододекаедр | *532 [5,3] Ih |
| [en] |  | Ікосаедр | Додекаедр | *532 [5,3] Ih |
Тетраедр самодвоїстий, отже, двоїсте з'єднання тетраедра з двоїстим йому є також зірчастим октаедром.
Двоїсті з'єднання куб-октаедр та додекаедр-ікосаедр є ззірченнями кубооктаедра та ікосододекаедра відповідно.
З'єднання малого зірчастого додекаедра і (великого додекаедра) виглядає зовні як той самий малий зірчастий додекаедр, оскільки великий додекаедр міститься повністю всередині нього. Тому зображення малого зірчастого додекаедра, наведене вище, показано у вигляді реберного каркаса.
Однорідні з'єднання
1976 року Джон Скіллінг (John Skilling) опублікував статтю Однорідні з'єднання однорідних многогранників, у якій перерахував 75 з'єднань (серед них 6 нескінченних множин призматичних з'єднань, № 20-25), отриманих з однорідних многогранників за допомогою обертань. (Кожна вершина є [en].) Список включає п'ять з'єднань правильних многогранників зі списку вище[1].
Ці 75 однорідних з'єднань наведено в таблиці нижче. У більшості з'єднань різні кольори відповідають різним складникам. Деякі хіральні пари розфарбовано згідно з дзеркальною симетрією.
- 1-19: суміш (4,5,6,9,17 є п'ятьма правильними з'єднаннями)
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |
 |
- 20-25: симетрія призм, вкладена в [en],
 |  |  |  |  |  |
- 26-45: симетрія призм, укладена в [en] або [en] симетрію,
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |
 |  |
- 46-67: тетраедрична симетрія, вкладена в октаедричну або ікосаедричну симетрію,
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |
- 68-75: (енантіоморфні) пари
 |  |  |  |  |  |
 |  |
Інші з'єднання
 |  |
| З'єднання чотирьох кубів (ліворуч) не є ні правильним, ні двоїстим, ні однорідним з'єднанням. Двоїсте йому з'єднання чотирьох октаедрів (праворуч) однорідне. | |
- [en]
- З'єднання чотирьох кубів
Два многогранники, які є з'єднаннями, але їх елементи строго вкладені в [en] (з'єднання ікосаедра та (великого додекаедра)) і [en] (з'єднання малого зірчастого додекаедра і великого ікосаедра). Якщо прийняти узагальнене визначення однорідного багатогранника, вони будуть однорідними.
Розділ ентіаноморфних пар у списку Скіллінга не містить з'єднань двох [en], оскільки грані- пентаграми збігаються. Видалення граней, що збігаються, приведе до [en].
Чотиривимірні з'єднання
 |  |
| 75 {4,3,3} | 75 {3,3,4} |
|---|
У чотиривимірному просторі існує багато правильних з'єднань правильних політопів. Коксетер перерахував деякі з них у своїй книзі [en].
Самодвоїсті:
| З'єднання | Симетрія |
|---|---|
| 120 (п'ятикомірників) | [5,3,3], порядок 14400 |
| 5 двадцятичотирьохкомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
Двоїсті пари:
| З'єднання 1 | З'єднання 2 | Симетрія |
|---|---|---|
| 3 шістнадцятикомірники | 3 тесеракти | [3,4,3], порядок 1152 |
| 15 шістнадцятикомірників | 15 тесерактів | [5,3,3], порядок 14400 |
| 75 шістнадцятикомірників | 75 тесерактів | [5,3,3], порядок 14400 |
| 300 шістнадцятикомірників | 300 тесерактів | [5,3,3] +, порядок 7200 |
| 600 шістнадцятикомірників | 600 тесерактів | [5,3,3], порядок 14400 |
| 25 двадцятичотирьохкомірників | 25 двадцятичотирьохкомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
Однорідні з'єднання з опуклими чотиривимірними многогранниками:
| З'єднання 1 [en] | З'єднання 2 [en] | Симетрія |
|---|---|---|
| 2 шістнадцятикомірники | 2 тесеракти | [4,3,3], порядок 384 |
| 100 двадцятичотирьохкомірників | 100 двадцятичотирьохкомірників | [5,3,3] +, порядок 7200 |
| 200 двадцятичотирьохкомірників | 200 двадцятичотирьохкомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
| 5 (шестисоткомірників) | 5 стодвадцятикомірників | [5,3,3] +, порядок 7200 |
| 10 (шестисоткомірників) | 10 стодвадцятикомірників | [5,3,3], порядок 14400 |
Двоїсті позиції:
| З'єднання | Симетрія |
|---|---|
| 2 (п'ятикомірники) {{3,3,3}} | [[3,3,3]], порядок 240 |
| 2 двадцятичотирьохкомірників {{3,4,3}} | [[3,4,3]], порядок 2304 |
З'єднання правильних чотиривимірних многогранників
Самодвоїсті зірчасті з'єднання:
| З'єднання | Симетрія |
|---|---|
| 5 [en] | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 [en] | [5,3,3], порядок 14400 |
| 5 [en] | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 [en] | [5,3,3], порядок 14400 |
Двоїсті пари з'єднань зірок:
| З'єднання 1 | З'єднання 2 | Симетрія |
|---|---|---|
| 5 {3,5,5/2} | 5 {5/2,5,3} | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 {3,5,5/2} | 10 {5/2,5,3} | [5,3,3], порядок 14400 |
| 5 {5,5/2,3} | 5 {3,5/2,5} | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 {5,5/2,3} | 10 {3,5/2,5} | [5,3,3], порядок 14400 |
| 5 {5/2,3,5} | 5 {5,3,5/2} | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 {5/2,3,5} | 10 {5,3,5/2} | [5,3,3], порядок 14400 |
Однорідні з'єднання зірок :
| З'єднання 1 [en] | З'єднання 2 [en] | Симетрія |
|---|---|---|
| 5 [en] | 5 [en] | [5,3,3]+, порядок 7200 |
| 10 [en] | 10 [en] | [5,3,3], порядок 14400 |
Теорія груп
У термінах теорії груп, якщо G — група симетрії з'єднання многогранників і група діє транзитивно на многогранник (так що будь-який многогранник може перейти в будь-якій іншій, як в однорідних з'єднаннях), тоді, якщо H є стабілізатором одного вибраного многогранника, многогранники можна визначити за орбітою G/H.
З'єднання мозаїк
Існує вісімнадцять двопараметричних сімейств правильних з'єднань мозаїк на евклідовій площині. У гіперболічному просторі відомі п'ять однопараметричних сімейств та сімнадцять ізольованих мозаїк, але список не завершено.
Евклідові та гіперболічні сімейства 2 {p,p} (4 ≤ p ≤ ∞, p ціле) аналогічні сферичним зірчастим октаедрам, 2 {3,3}.
| Самодвоїсті | Двоїсті | Самодвоїсті | |
|---|---|---|---|
| 2 {4,4} | 2 {6,3} | 2 {3,6} | 2 [en] |
 |  |  |  |
| 3 {6,3} | 3 {3,6} | 3 [en] | |
 |  |  | |
Відомим сімейством правильних евклідових з'єднань стільників у просторах розмірності п'ять і вище є нескінченне сімейство [en], що мають спільні вершини та грані. Таке з'єднання може мати довільне число гіперкубічних стільників.
Існують також двоїсто-правильні з'єднання мозаїк. Простим прикладом є E2-з'єднання шестикутної мозаїки та її двоїстої трикутної. Евклідове з'єднання двох гіперкубічних стільників правильне і двоїсто правильне.
Примітки
- Skilling, 1976, с. 447–457.
- Coxeter, 1973, с. 305, Таблица VII.
- Richard Klitzing, Uniform compound Звёздчатый икосаэдр [ 2016-03-04 у Wayback Machine.]
Література
- John Skilling. Uniform Compounds of Uniform Polyhedra // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1976. — Т. 79 (16 червня). — DOI:..
- P. Cromwell. Polyhedra. — United Kingdom : Cambridge, 1997. — С. 79–86 Archimedean solids. — .
- (Magnus Wenninger). Dual Models. — Cambridge : Cambridge University Press, 1983. — P. 51–53..
- Michael G. Harman. Polyhedral Compounds. — unpublished manuscript, 1974..
- Edmund Hess. Zugleich Gleicheckigen und Gleichflächigen Polyeder. — Schriften der Gesellschaft zur Berörderung der Gasammten Naturwissenschaften zu Marburg. — 1876. — Т. 11. — С. 5–97.
- H.S.M Coxeter. Chapter 8: Truncation // [en]. — 3rd edition. — New York : Dover Publications Inc, 1973. — .
- Anthony Pugh. Polyhedra: A visual approach. — California : University of California Press Berkeley, 1976. — . стор. 87 Five regular compounds
Посилання
- MathWorld: Polyhedron Compound
- Compound polyhedra — від Virtual Reality Polyhedra
- Skilling's 75 Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
- Skilling's Uniform Compounds of Uniform Polyhedra
- http://users.skynet.be/polyhedra.fleurent/Compounds_2/Compounds_2.htm
- Compound of Small Stellated Dodecahedron and Great Dodecahedron {5/2,5}+{5,5/2}
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет