Добуток Хатрі-Рао

Добуток Хатрі-Рао (англ. Khatri-Rao product) — матрична операція перемноження матриць, що визначається виразом:

${\displaystyle \mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{ij}\right)_{ij}}$

в якому ij-й блок являє собою добуток Кронекера m_ip_i × n_jq_j відповідних блоків A і B за умови, що кількість рядків і стовпців обох матриць однакова. Розмірність добутку — (Σ_i m_ip_i) × (Σ_j n_jq_j).

Наприклад, якщо матриці A і B мають блокову розмірність 2 × 2

${\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c c}1&4&7\\\hline 2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],}$

отримаємо:

${\displaystyle \mathbf {A} \ast \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\otimes \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\otimes \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c | c c}1&2&12&21\\4&5&24&42\\\hline 14&16&45&72\\21&24&54&81\end{array}}\right].}$

Стовпцевий добуток Хатрі-Рао

Стовпцевий добуток Кронекера двох матриць також прийнято називати добутком Хатрі-Рао. Цей добуток передбачає, що блоки матриць є їх стовпцями. В такому випадку m₁ = m, p₁ = p, n = q і для кожного j: n_j = p_j = 1. Результатом добутку є mp × n- матрица, кожен стовпець якої отримується як добуток Кронекера відповідних стовпців матриць A і B. Спираючись на розбиття матриць з попереднього прикладу на стовпці, отримаємо:

${\displaystyle \mathbf {C} =\left[{\begin{array}{c | c | c}\mathbf {C} _{1}&\mathbf {C} _{2}&\mathbf {C} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c | c | c }\mathbf {D} _{1}&\mathbf {D} _{2}&\mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c }1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{array}}\right],}$

і далі:

${\displaystyle \mathbf {C} \ast \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c | c | c }\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}&\mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}&\mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c | c | c }1&8&21\\2&10&24\\3&12&27\\4&20&42\\8&25&48\\12&30&54\\7&32&63\\14&40&72\\21&48&81\end{array}}\right].}$

Застосування

Стовпцева версія добутку Хатрі-Рао застосовується в лінійній алгебрі для аналітичної обробки даних і оптимізації рішень проблеми обернення діагональних матриць.

В 1996 р. стовпцевий добуток Хатрі-Рао був запропонований для формалізації задачі оцінювання напрямку приходу та часу затримки сигналів в цифровій антенній решітці, а також для опису відгуку 4-координатного радара.

Торцевий добуток

Торцевий добуток матриць

Альтернативна концепція добутку матриць, яка на відміну від стовпцевої версії добутку Хатрі-Рао використовує розбиття матриць на рядки, була запропонована Слюсарем В. І. в 1996 р. і названа ним торцевий добуток (англ. face-splitting product) або транспонований добуток Хатрі-Рао (англ. transposed Khatri-Rao product).

Цей тип матричного добутку спирається на перемноження елементів рядків двох і більше матриць з однаковою кількістю рядків за правилом добутку Кронекера. Використовуючи розбиття матриць з попередніх прикладів на рядки:

${\displaystyle \mathbf {C} =\left[{\begin{array}{c c}\mathbf {C} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c}1&2&3\\\hline 4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c }\mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {D} _{3}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c }1&4&7\\\hline 2&5&8\\\hline 3&6&9\end{array}}\right],}$

можна записати:

${\displaystyle \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} =\left[{\begin{array}{c }\mathbf {C} _{1}\otimes \mathbf {D} _{1}\\\hline \mathbf {C} _{2}\otimes \mathbf {D} _{2}\\\hline \mathbf {C} _{3}\otimes \mathbf {D} _{3}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{c c c c c c c c c }1&4&7&2&8&14&3&12&21\\\hline 8&20&32&10&25&40&12&30&48\\\hline 21&42&63&24&48&72&27&54&81\end{array}}\right].}$

Основні властивості

1. Транспонування (Слюсар В.І., 1996):

   ${\displaystyle \left(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$

2. Комутативність і асоціативність:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} +\mathbf {C} )&=\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} +\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} ,\\(\mathbf {B} +\mathbf {C} )\bullet \mathbf {A} &=\mathbf {B} \bullet \mathbf {A} +\mathbf {C} \bullet \mathbf {A} ,\\(k\mathbf {A} )\bullet \mathbf {B} &=\mathbf {A} \bullet (k\mathbf {B} )=k(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} ),\\(\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} &=\mathbf {A} \bullet (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} ),\\\end{aligned}}}$

   де A, B і C — матриці, а k — скаляр,

   ${\displaystyle a\bullet \mathbf {B} =\mathbf {B} \bullet a}$,

   де ${\displaystyle a}$ — вектор з тією ж кількістю елементів, що і кількість рядків матриці ${\displaystyle \mathbf {B} }$,
3. Властивість змішаного добутку (1997):

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )\left(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)=\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\textsf {T}}\right)\circ \left(\mathbf {B} \mathbf {B} ^{\textsf {T}}\right)}$,

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {D} )}$,

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} \bullet \mathbf {C} \bullet \mathbf {D} )(\mathbf {L} \ast \mathbf {M} \ast \mathbf {N} \ast \mathbf {P} )=(\mathbf {A} \mathbf {L} )\circ (\mathbf {B} \mathbf {M} )\circ (\mathbf {C} \mathbf {N} )\circ (\mathbf {D} \mathbf {P} )}$,

   ${\displaystyle (\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )^{\textsf {T}}(\mathbf {A} \ast \mathbf {B} )=(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} )\circ (\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\mathbf {B} )}$,

   де ${\displaystyle \circ }$ означає добуток Адамара,
4. ${\displaystyle (\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\bullet (\mathbf {C} \circ \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \bullet \mathbf {C} )\circ (\mathbf {B} \bullet \mathbf {D} )}$,
5. ${\displaystyle \mathbf {A} \otimes (\mathbf {B} \bullet \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )\bullet \mathbf {C} }$,
6. ${\displaystyle (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )(\mathbf {C} \ast \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\ast (\mathbf {B} \mathbf {D} )}$,
7. ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {C} \otimes \mathbf {D} )=(\mathbf {A} \mathbf {C} )\bullet (\mathbf {B} \mathbf {D} )}$,
   ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} )\bullet (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} )}$,
8. ${\displaystyle c^{\textsf {T}}\bullet d^{\textsf {T}}=c^{\textsf {T}}\otimes d^{\textsf {T}}}$,
   ${\displaystyle c\ast d=c\otimes d}$, де ${\displaystyle c}$ і ${\displaystyle d}$ є векторами узгодженої розмірності,
9. ${\displaystyle (\mathbf {A} \ast c^{\textsf {T}})d=(\mathbf {A} \ast d^{\textsf {T}})c}$, ${\displaystyle d^{\textsf {T}}(c\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}})=c^{\textsf {T}}(d\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}})}$,
10. ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} c)\circ (\mathbf {B} d)}$, де ${\displaystyle c}$ і ${\displaystyle d}$ є векторами узгодженої розмірності,
    ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {B} )(\mathbf {M} \mathbf {N} c\otimes \mathbf {Q} \mathbf {P} d)=(\mathbf {A} \mathbf {M} \mathbf {N} c)\circ (\mathbf {B} \mathbf {Q} \mathbf {P} d)}$,
11. ${\displaystyle {\mathcal {F}}(C^{(1)}x\star C^{(2)}y)=({\mathcal {F}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {F}}C^{(2)})(x\otimes y)={\mathcal {F}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {F}}C^{(2)}y}$,
    де ${\displaystyle \star }$ є символом векторної згортки, і ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ — матриця дискретного перетворення Фур'є (тотожність є розвитком властивості відлікового скетча),
12. ${\displaystyle \mathbf {A} \bullet \mathbf {B} =(\mathbf {A} \otimes \mathbf {1_{c}} ^{\textsf {T}})\circ (\mathbf {1_{k}} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {B} )}$, де ${\displaystyle \mathbf {A} }$ — ${\displaystyle r\times c}$ матриця, ${\displaystyle \mathbf {B} }$ — ${\displaystyle r\times k}$ матриця, ${\displaystyle \mathbf {1_{c}} }$, ${\displaystyle \mathbf {1_{k}} }$ — вектори з ${\displaystyle c}$ та ${\displaystyle k}$ одиниць відповідно,
    ${\displaystyle \mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =(\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}})\circ (\mathbf {1} ^{\textsf {T}}\otimes \mathbf {M} )}$, де ${\displaystyle \mathbf {M} }$ є ${\displaystyle r\times c}$ матрицею, ${\displaystyle \circ }$ — добуток Адамара і ${\displaystyle \mathbf {1} }$ — вектор з ${\displaystyle c}$ одиниць.
    ${\displaystyle \mathbf {M} \bullet \mathbf {M} =\mathbf {M} [\circ ](\mathbf {M} \otimes \mathbf {1} ^{\textsf {T}})}$, де ${\displaystyle [\circ ]}$ — символ (проникаючого торцевого добутку) матриць.
    Аналогічно, ${\displaystyle \mathbf {P} \ast \mathbf {N} =(\mathbf {P} \otimes \mathbf {1_{c}} )\circ (\mathbf {1_{k}} \otimes \mathbf {N} )}$, де ${\displaystyle \mathbf {P} }$ — ${\displaystyle c\times r}$ матриця, ${\displaystyle \mathbf {N} }$ — ${\displaystyle k\times r}$ матриця.
13. ${\displaystyle \mathbf {W_{d}} \mathbf {A} =\mathbf {w} \bullet \mathbf {A} }$,
    ${\displaystyle vec((\mathbf {w} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {B} )=(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {w} }$,
    ${\displaystyle vec(\mathbf {A} (\mathbf {w} \bullet \mathbf {B} ))=(\mathbf {B} ^{\textsf {T}}\ast \mathbf {A} )\mathbf {w} }$,
    ${\displaystyle vec(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\mathbf {W_{d}} \mathbf {A} )=(\mathbf {A} \bullet \mathbf {A} )^{\textsf {T}}\mathbf {w} }$, ${\displaystyle vec(\mathbf {A} \mathbf {W_{d}} \mathbf {A} ^{\textsf {T}})=(\mathbf {A} ^{\textsf {T}}\bullet \mathbf {A} ^{\textsf {T}})^{\textsf {T}}\mathbf {w} =(\mathbf {A} \ast \mathbf {A} )\mathbf {w} }$,
    де ${\displaystyle \mathbf {w} }$ — вектор, утворений із діагональних елементів матриці ${\displaystyle \mathbf {W_{d}} }$, ${\displaystyle vec(\mathbf {A} )}$ — операція формування вектора з матриці ${\displaystyle \mathbf {A} }$ шляхом розташування один під одним її стовпців.
14. Властивість поглинання добутку Кронекера:
    ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {K} \ast \mathbf {T} )=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} \mathbf {K} )\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} \mathbf {T} )}$,
    ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(c\otimes d)=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} d)}$,
    ${\displaystyle (\mathbf {A} \bullet \mathbf {L} )(\mathbf {B} \otimes \mathbf {M} )...(\mathbf {C} \otimes \mathbf {S} )(\mathbf {P} c\otimes \mathbf {Q} d)=(\mathbf {A} \mathbf {B} ...\mathbf {C} \mathbf {P} c)\circ (\mathbf {L} \mathbf {M} ...\mathbf {S} \mathbf {Q} d)}$,
    де ${\displaystyle c}$ і ${\displaystyle d}$ є векторами узгодженої розмірності,

Наприклад,
${\displaystyle {\begin{aligned}\\&\quad \left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\ast {\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]&\quad =\left({\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}\bullet {\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right)\left({\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\,\otimes \,{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\right)\\[5pt]&\quad ={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0\\0&\sigma _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}\,\circ \,{\begin{bmatrix}1&0\\1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\rho _{1}&0\\0&\rho _{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

та інші. Крім того, Слюсарем В. І. були запропоновані блокові версії транспонованого добутку та досліджені їх властивості.

Блоковий торцевий добуток

Застосування блокового транспонованого торцевого добутку для опису відгуку багатогранної цифрової антенної решітки

Для блокових матриць з однаковою кількістю рядків у відповідних блоках

${\displaystyle \mathbf {A} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}&\mathbf {A} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}&\mathbf {A} _{22}\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {B} _{11}&\mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {B} _{21}&\mathbf {B} _{22}\end{array}}\right],}$

згідно з визначенням, блоковий торцевий добуток ${\displaystyle \mathbf {A} [\bullet ]\mathbf {B} }$ запишеться у вигляді:

${\displaystyle \mathbf {A} [\bullet ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\bullet \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\bullet \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\bullet \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\bullet \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]}$.

Аналогічно для блокового транспонованого торцевого добутку (або блокового стовпцевого добутку Хатрі-Рао) двох матриць ${\displaystyle \mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} }$ з однаковою кількістю стовпців у відповідних блоках справедливо:

${\displaystyle \mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c | c}\mathbf {A} _{11}\ast \mathbf {B} _{11}&\mathbf {A} _{12}\ast \mathbf {B} _{12}\\\hline \mathbf {A} _{21}\ast \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{22}\ast \mathbf {B} _{22}\end{array}}\right]}$.

Основні властивості

1. Транспонування:

   ${\displaystyle \left(\mathbf {A} [\ast ]\mathbf {B} \right)^{\textsf {T}}={\textbf {A}}^{\textsf {T}}[\bullet ]\mathbf {B} ^{\textsf {T}}}$

Застосування

Родина торцевих добутків матриць стала основою започаткованої Слюсарем В. І. тензорно-матричної теорії цифрових антенних решіток для радіотехнічних систем, яка надалі отримала розвиток як частина теорії цифрової обробки сигналів.

Торцевий добуток набув широкого поширення в системах машинного навчання, статистичній обробці великих даних. Він дозволяє скоротити обсяги обчислень при реалізації методу зменшення розмірності даних, що одержав назву тензорний скетч а також (швидкого перетворення Джонсона — Лінденштрауса). При цьому здійснюється перехід від матриці великої розмірності до добутку Адамара, що оперує матрицями меншого розміру. Похибки апроксимації данних великої розмірності на основі торцевого добутку матриць задовольняють лемі Джонсона — Лінденштрауса. У тому ж контексті ідея торцевого добутку може бути використана для вирішення завдання диференційної приватності (англ. differential privacy). Крім того, аналогічні обчислення були застосовані для формування тензорів співпадань в задачах обробки природної мови і побудови гіперграфів подібності зображень.

Торцевий добуток використаний у 2003 р. для P-сплайн апроксимації, у 2006 р. — для побудови узагальнених лінійних моделей масивів даних (GLAM) при їх статистичній обробці, а також для ефективної реалізації ядрових методів машинного навчання та дослідження взаємодії генотипів з оточуючим середовищем.

Див. також

• Добуток Кронекера
• Тензорний скетч
• Лема Джонсона-Лінденштрауса

Примітки

1. Khatri C. G., (1968). . . 30: 167—180. Архів оригіналу (PDF) за 23 жовтня 2010. Процитовано 21 серпня 2008.
2. Zhang X; Yang Z; Cao C. (2002), Inequalities involving Khatri–Rao products of positive semi-definite matrices, Applied Mathematics E-notes, 2: 117—124
3. See e.g. H.D. Macedo and J.N. Oliveira. A linear algebra approach to OLAP. Formal Aspects of Computing, 27(2):283–307, 2015.
4. Lev-Ari, Hanoch (1 січня 2005). . Communications in Information & Systems (EN) . 05 (1): 123—130. doi:10.4310/CIS.2005.v5.n1.a5. ISSN 1526-7555. Архів оригіналу за 12 липня 2020. Процитовано 12 липня 2020.
5. Masiero, B.; Nascimento, V. H. (1 травня 2017). . IEEE Signal Processing Letters. 24 (5): 525—529. Bibcode:2017ISPL...24..525M. doi:10.1109/LSP.2017.2674969. ISSN 1070-9908. Архів оригіналу за 12 липня 2020. Процитовано 12 липня 2020.
6. Vanderveen, M. C., Ng, B. C., Papadias, C. B., & Paulraj, A. (n.d.). Joint angle and delay estimation (JADE) for signals in multipath environments. Conference Record of The Thirtieth Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers. — DOI:10.1109/acssc.1996.599145
7. Slyusar, V. I. (27 грудня 1996). (PDF). Radioelectronics and Communications Systems.– 1998, Vol. 41; Number 3: 50—53. Архів оригіналу (PDF) за 27 липня 2020. Процитовано 27 липня 2020.
8. Anna Esteve, Eva Boj & Josep Fortiana (2009): Interaction Terms in Distance-Based Regression, Communications in Statistics — Theory and Methods, 38:19, P. 3501 [1] [ 26 квітня 2021 у Wayback Machine.]
9. Slyusar, V. I. (20 травня 1997). (PDF). Proc. ICATT- 97, Kyiv: 108—109. Архів оригіналу (PDF) за 25 січня 2020. Процитовано 12 липня 2020.
10. Slyusar, V. I. (1999). (PDF). Cybernetics and Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 35 (3): 379—384. doi:10.1007/BF02733426. Архів оригіналу (PDF) за 25 січня 2020. Процитовано 12 липня 2020.
11. Slyusar, V. I. (2003). (PDF). Radioelectronics and Communications Systems. 46 (10): 9—17. Архів оригіналу (PDF) за 20 вересня 2020. Процитовано 12 липня 2020.
12. Миночкин А.И., Рудаков В.И., Слюсар В.И. (2012). (PDF). с. C. 7 - 98, 354—521. Архів оригіналу (PDF) за 25 січня 2020. Процитовано 12 липня 2020.
13. Slyusar, V. I. (15 вересня 1997). (PDF). Proc. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv.: 73—74. Архів оригіналу (PDF) за 25 січня 2020. Процитовано 12 липня 2020.
14. C. Radhakrishna Rao. Estimation of Heteroscedastic Variances in Linear Models.//Journal of the American Statistical Association, Vol. 65, No. 329 (Mar., 1970), pp. 161—172
15. Vadym Slyusar. New Matrix Operations for DSP (Lecture). April 1999. - DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1
16. Kasiviswanathan, Shiva Prasad, et al. «The price of privately releasing contingency tables and the spectra of random matrices with correlated rows.» Proceedings of the forty-second ACM symposium on Theory of computing. 2010.
17. Thomas D. Ahle, Jakob Bæk Tejs Knudsen. Almost Optimal Tensor Sketch. Published 2019. Mathematics, Computer Science, ArXiv [ 28 липня 2020 у Wayback Machine.]
18. Ninh, Pham; Rasmus, Pagh (2013). Fast and scalable polynomial kernels via explicit feature maps. SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining. Association for Computing Machinery. doi:10.1145/2487575.2487591.
19. Eilers, Paul H.C.; Marx, Brian D. (2003). Multivariate calibration with temperature interaction using two-dimensional penalized signal regression. Chemometrics and Intelligent Laboratory Systems. 66 (2): 159—174. doi:10.1016/S0169-7439(03)00029-7.
20. Currie, I. D.; Durban, M.; Eilers, P. H. C. (2006). Generalized linear array models with applications to multidimensional smoothing. . 68 (2): 259—280. doi:10.1111/j.1467-9868.2006.00543.x.
21. Ahle, Thomas; Kapralov, Michael; Knudsen, Jakob; Pagh, Rasmus; Velingker, Ameya; Woodruff, David; Zandieh, Amir (2020). Oblivious Sketching of High-Degree Polynomial Kernels. ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms. Association for Computing Machinery. doi:10.1137/1.9781611975994.9.
22. Bryan Bischof. Higher order co-occurrence tensors for hypergraphs via face-splitting. Published 15 February, 2020, Mathematics, Computer Science, ArXiv [ 25 листопада 2020 у Wayback Machine.]
23. Johannes W. R. Martini, Jose Crossa, Fernando H. Toledo, Jaime Cuevas. On Hadamard and Kronecker products in covariance structures for genotype x environment interaction.//Plant Genome. 2020;13:e20033. Page 5. [2]

Джерела

• Khatri C. G., C. R. Rao (1968). . Sankhya. 30: 167—180. Архів оригіналу за 23 жовтня 2010. Процитовано 21 серпня 2008.
• Zhang X; Yang Z; Cao C. (2002), Inequalities involving Khatri–Rao products of positive semi-definite matrices, Applied Mathematics E-notes, 2: 117—124
• Matrix Algebra & Its Applications to Statistics & Econometrics./C. R. Rao with M. Bhaskara Rao. — World Scientific. — 1998. — P. 216.