Гіпотеза Коллатца гіпотеза 3n 1 гіпотеза 3x 1 проблема Коллатца проблема 3n 1 проблема 3x 1 Сіракузька проблема одна з н

Гіпотеза Коллатца (гіпотеза 3n+1, гіпотеза 3x+1, проблема Коллатца, проблема 3n+1, проблема 3x+1, Сіракузька проблема) — одна з нерозв'язаних проблем математики, названа на честь німецького математика Лотара Коллатца, який запропонував її у 1937 році.

Сіракузька послідовність

Для пояснення суті гіпотези розглянемо наступну послідовність чисел, яка називається Сіракузькою послідовністю. Беремо будь-яке натуральне число n. Якщо воно парне, то ділимо його на 2, а якщо непарне, то множимо на 3 і додаємо 1 (отримуємо 3n + 1). Над отриманим числом виконуємо ті ж самі дії, і так далі.

Наприклад, для числа 3 отримуємо:

3 — непарне, 3 × 3 + 1 = 10

10 — парне, 10:2 = 5

5 — непарне, 5 × 3 + 1 = 16

16 — парне, 16:2 = 8

8 — парне, 8:2 = 4

4 — парне, 4:2 = 2

2 — парне, 2:2 = 1

1 — непарне, 1 × 3 + 1 = 4

Очевидно, що, починаючи з 1, починають циклічно повторюватися числа 1, 4, 2.

Для числа 27 маємо : 27, 82, 41, 124 , 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, …

Послідовність прийшла до одиниці тільки через 111 кроків, досягнувши пікового значення 9232.

Гіпотеза Коллатца полягає в тому, що яке б початкове число ми не взяли, рано чи пізно ми отримаємо одиницю.

Числа — градини — також поширена назва для сукупності розглянутих послідовностей. Така назва виникла через те, що графіки послідовностей (див. ілюстрацію) схожі на траєкторію руху градин в атмосфері.

Проєкт «Collatz Conjecture»

У серпні 2009 року на платформі BOINC був запущений проєкт добровільних розподілених обчислень «Collatz Conjecture [ 4 грудня 2017 у Wayback Machine.]», метою якого є перевірка гіпотези Коллатца на великих числах. Обчислювальний модуль проєкту може використовувати обчислювальні потужності сучасних відеокарт для одночасної обробки і вирахування послідовностей.

Візуалізація

Напрямлений граф, що показує орбіти невеликих чисел при відображенні карти Коллатца.
Напрямлений граф, що показує орбіти перших 1000 номерів.
х — стартовий номер
у — найбільше число в ланцюгу на шляху до 1.

Аргументи на користь теорії

Хоча гіпотеза не була доведена, більшість математиків, які розглядали цю проблему, вважають гіпотезу істинною, тому що експериментальні дані і евристичні міркування підтримують її.

Ймовірнісний підхід

Якщо врахувати тільки непарні числа в послідовності, породженій процесом Коллатц, то кожне непарне число складає в середньому 3/4 попереднього. З цього витікає евристичний аргумент, що будь-яка послідовність чисел-градин повинна зменшуватись в довгостроковій перспективі, хоча це не є аргументом проти інших циклів, тільки проти дивергенції. Аргумент не є доказом, оскільки він припускає, що послідовності градини збираються з некорельованих ймовірнісних подій.

Строгі обмеження

Хоча достеменно не відомо чи всі додатні числа в кінцевому підсумку зводяться до одиниці відповідно до гіпотези Коллатца, відомо, що багато чисел дійсно зводяться. Зокрема, Красиков і Лагарис довели, що кількість цілих чисел в інтервалі [1, х], що в кінцевому підсумку зводяться до одиниці, принаймні пропорційна x^0.84.

Цикли

Див. також: Періодична послідовність

У цій частині розглянемо скорочену форму функції Коллатца $f(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\text{if }}n\equiv 0{\pmod {2}},\\[4px]{\frac {3n+1}{2}}&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {2}}.\end{cases}}$ Цикл — це послідовність $(a 0, a 1, ..., a q)$ різних натуральних чисел, де $f (a 0) = a 1$ , $f (a 1) = a 2$ , … і $f (a q) = a 0$ .

Єдиним відомим циклом є $(1,2)$ з періодом 2, який називають тривіальним циклом.

Довжина циклу

Відомо, що довжина нетривіального циклу становить не менше 17087915. Точніше, Еліаху довів, що період $p$ будь-якого нетривіального циклу має вигляд $p=301994a+17087915b+85137581c$ де $a$ , $b$ і $c$ — цілі невід'ємні числа, $b \geq 1$ і $ac = 0$ (тобто, хоча б одне з чисел a чи c дорівнює нулю). Цей результат ґрунтується на розкладі $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}ln 3/ln 2$ в ланцюговий дріб.

Подібне міркування, яке враховує нещодавню перевірку гіпотези до $268$ , призводить до покращеної нижньої межі 114208327604 (або 186265759595 без «ярлика»). Ця нижня межа узгоджується з наведеним вище результатом, оскільки 114208327604 = 17087915 × 361 + 85137581 × 1269.

$k$ -цикли

$k$ -цикл — це цикл, який можна розбити на $2 k$ неперервних підпослідовностей: $k$ послідовностей непарних чисел, що зростають, які чергуються з $k$ спадними послідовностями парних чисел. Наприклад, якщо цикл складається з однієї зростаючої послідовності непарних чисел, за якою йде спадна послідовність парних чисел, він називається 1-циклом.

Штайнер (1977) довів, що не існує 1-циклу, крім тривіального $(1; 2)$ . Сімонс (2005) за допомогою методу Штайнера довів, що не існує 2-циклу. Сімонс і де Вегер (2005) розширили це доведення до 68-циклів: немає $k$ -циклу до $k = 68$ . Для кожного $k$ поза 68 цей метод дає верхню межу для найменшого члена $k$ -циклу: наприклад, якщо є 77-цикл, тоді принаймні один елемент циклу менший за 38137×2⁵⁰. Разом із перевіркою гіпотези до $268$ це означає відсутність нетривіального $k$ -циклу до $k = 77$ . У міру просування комп'ютерних пошуків, більші значення $k$ можуть бути виключені. Простішими словами: нам не потрібно шукати цикли, які мають щонайбільше 77 циклів, де кожен контур складається з послідовних підйомів, за якими йдуть послідовні спади.

Див. також

Примітки

Eliahou, Shalom (1993). The 3x + 1 problem: new lower bounds on nontrivial cycle lengths. Discrete Mathematics. 118 (1): 45—56. doi:10.1016/0012-365X(93)90052-U.
Simons, J.; de Weger, B. (2005). (PDF). Acta Arithmetica. 117 (1): 51—70. Bibcode:2005AcAri.117...51S. doi:10.4064/aa117-1-3. Архів оригіналу (PDF) за 17 травня 2017. Процитовано 2 липня 2022.
Steiner, R. P. (1977). A theorem on the syracuse problem. Proceedings of the 7th Manitoba Conference on Numerical Mathematics. с. 553—9. MR 0535032.
Simons, John L. (2005). On the nonexistence of 2-cycles for the 3x + 1 problem. Math. Comp. 74: 1565—72. Bibcode:2005MaCom..74.1565S. doi:10.1090/s0025-5718-04-01728-4. MR 2137019.
Barina, David (2020). Convergence verification of the Collatz problem. The Journal of Supercomputing. 77 (3): 2681—2688. doi:10.1007/s11227-020-03368-x.

Література

Хейєс, Браян. Злети та падіння чисел-градин // В світі науки (Scientific American, видання російською мовою). — 1984. — № 3. — С. 102—107.

Посилання

Проблема 3x+1 [ 16 грудня 2013 у Wayback Machine.] — стаття на сайті вчителя математики, Сербіної Надії Олексіївни.
Collatz Conjecture [ 4 грудня 2017 у Wayback Machine.] — проект розподілених обчислень на платформі BOINC з перевірки гіпотези Коллатца на великих числах.
On the 3x + 1 problem [ 14 грудня 2013 у Wayback Machine.] — проект розподілених обчислень, заснований Еріком Рузендалем (Eric Roosendaal), з перевірки гіпотези Коллатца на великих числах.
Аналітичний підхід до проблеми Коллатца [ 20 березня 2013 у Wayback Machine.].

[Eliahou_(1993)-1] Eliahou, Shalom (1993). The 3x + 1 problem: new lower bounds on nontrivial cycle lengths. Discrete Mathematics. 118 (1): 45—56. doi:10.1016/0012-365X(93)90052-U.

[Simons_&_de_Weger_(2005)-2] Simons, J.; de Weger, B. (2005). (PDF). Acta Arithmetica. 117 (1): 51—70. Bibcode:2005AcAri.117...51S. doi:10.4064/aa117-1-3. Архів оригіналу (PDF) за 17 травня 2017. Процитовано 2 липня 2022.

[Steiner_(1977)-3] Steiner, R. P. (1977). A theorem on the syracuse problem. Proceedings of the 7th Manitoba Conference on Numerical Mathematics. с. 553—9. MR 0535032.

[4] Simons, John L. (2005). On the nonexistence of 2-cycles for the 3x + 1 problem. Math. Comp. 74: 1565—72. Bibcode:2005MaCom..74.1565S. doi:10.1090/s0025-5718-04-01728-4. MR 2137019.

[Barina-5] Barina, David (2020). Convergence verification of the Collatz problem. The Journal of Supercomputing. 77 (3): 2681—2688. doi:10.1007/s11227-020-03368-x.