В алгебричній геометрії алгебричний многовид — множина точок, координати яких задовольняють деякій системі поліноміальних рівнянь.
Визначення
Розглядаються чотири види алгебричних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди, проєктивні многовиди і квазі-проєктивні многовиди.
Афінні многовиди
Нехай є алгебрично замкнуте поле і — n-вимірний афінний простір над . Многочлени можна розглядати як функції з , зі значеннями в . Для кожного можна визначити підмножину , в якій значення всіх поліномів з множини рівне нулю:
Підмножина , множини називається афінною алгебричною множиною, якщо для деякої . Непорожня афінна називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні афінні алгебричні множини називаються афінними алгебричними многовидами, або просто афінними многовидами.
Для афінного многовиду можна задати природну топологію, замкнутими множинами якої є всі алгебричні множини. Дана топологія називається топологією Зариського.
Для нехай — ідеал многочленів, значення яких на множині рівні нулю.
Для будь-якої алгебричної множини координатним кільцем або структурним кільцем називається фактор-кільце многочленів по цьому ідеалу.
Проєктивні многовиди
Нехай — n-вимірний проєктивний простір над полем . Однорідний многочлен , можна розглядати як функцію , зі значеннями в . Для будь-якого аналогічно, як у афінному випадку визначаємо:
Підмножина , множини називається проєктивною алгебричною множиною, якщо для деякої . Непорожня проєктивна алгебрична множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебричних підмножин. Незвідні проєктивні алгебричні множини називаються проєктивними алгебричними многовидами, або просто проєктивними многовидами.
Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського.
Для Нехай — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині рівне нулю. Для будь-якої проєктивної алгебричної множини фактор-кільце по цьому ідеалу називається координатним кільцем.
Основні властивості
- Афінна алгебрична множина є алгебричним многовидом тоді і тільки тоді коли є простим ідеалом.
- Довільна непорожня афінна алгебрична множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебричних многовидів.
Див. також
Посилання
Ю.Дрозд. Алгебрична геометрія і її застосування.Курс лекцій [ 22 травня 2011 у Wayback Machine.]
Література
- Атья М., Введение в коммутативную алгебру. — Москва : Мир, 1972. — 160 с.(рос.)
- Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
- David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. .
- David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. .
- David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет