Ґратка з діленням — алгебраїчна структура в теорії ґраток, що одночасно є ґраткою x ≤ y та моноїдом x•y, яка дозволяє операції x\z та z/y, що є аналогами ділення чи імплікації, якщо розглядати x•y як множення чи кон'юнкцію, відповідно.
Прикладами ґраток з діленням є булеві алгебри, , алгебри Гейтінга, .
Визначення
Ґратка з діленням така алгебраїчна структура, що:
- — ґратка
- — моноїд
- Для всіх z виконується: існує для кожного x таке найбільше y, та існує для кожного y таке найбільше x, що x•y ≤ z (властивість ділення).
В (3), таке «найбільше y», залежить від z та x, позначається x\z та називається права частка z по x. Двоїстим поняттям є «найбільший x» позначається z/y та називається ліва частка z по y.
Перепишемо (3) еквівалентно:
- 3'.
Для фіксованого x в L, унарні операції x• та x\ є відповідно нижнім та верхнім спряженням в на L, дуально це також справедливо і для функцій •y та /y. Тому існує інше визначення, а саме:
разом з вимогою монотонності x•y по x та по y. (З аксіом (3) чи (3') монотонність виводиться, але nen її потрібно вводити окремою аксіомою.) Тепер можна розглядати x• та x\ як псевдообернення чи спряження один до одного, а також •x до /x.
Аксіома монотонності теж може бути записана через нерівність
І навпаки, нерівність може бути записана як чи Тому перейшовши до визначення ґратки через тотожності отримаємо іншу сигнатуру
Приклади
Булеві алгебри та алгебри Гейтінга є комутативними ґратками з діленнямв яких x•y = x∧y (тому одиниця множення e збігається з максимальним елементом 1) та обидва ділення x\y та y/x є однією операцією, а саме імплікацією x → y.
Див. також
Джерела
- Биркгоф Г. Теория решёток / пер. с англ. В. Н. Салий ; под ред. Л. А. Скорнякова. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1984. — 568 с.(рос.)
- Ward, Morgan, and (1939) "Residuated lattices," Trans. Amer. Math. Soc. 45: 335-54. Reprinted in Bogart, K, Freese, R., and Kung, J., eds. (1990) The Dilworth Theorems: Selected Papers of R.P. Dilworth Basel: Birkhäuser.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Gratka z dilennyam algebrayichna struktura v teoriyi gratok sho odnochasno ye gratkoyu x y ta monoyidom x y yaka dozvolyaye operaciyi x z ta z y sho ye analogami dilennya chi implikaciyi yaksho rozglyadati x y yak mnozhennya chi kon yunkciyu vidpovidno Prikladami gratok z dilennyam ye bulevi algebri algebri Gejtinga ViznachennyaGratka z dilennyam L e displaystyle L leq cdot e taka algebrayichna struktura sho L displaystyle L leq gratka L e displaystyle L cdot e monoyid Dlya vsih z vikonuyetsya isnuye dlya kozhnogo x take najbilshe y ta isnuye dlya kozhnogo y take najbilshe x sho x y z vlastivist dilennya V 3 take najbilshe y zalezhit vid z ta x poznachayetsya x z ta nazivayetsya prava chastka z po x Dvoyistim ponyattyam ye najbilshij x poznachayetsya z y ta nazivayetsya liva chastka z po y Perepishemo 3 ekvivalentno 3 x y z L y x z x y z x z y displaystyle forall x y z in L quad y leq x backslash z quad iff quad x cdot y leq z quad iff quad x leq z y Dlya fiksovanogo x v L unarni operaciyi x ta x ye vidpovidno nizhnim ta verhnim spryazhennyam v na L dualno ce takozh spravedlivo i dlya funkcij y ta y Tomu isnuye inshe viznachennya a same x x y y x x y displaystyle x cdot x backslash y leq y leq x backslash x cdot y y x x y y x y displaystyle y x cdot x leq y leq y cdot x y razom z vimogoyu monotonnosti x y po x ta po y Z aksiom 3 chi 3 monotonnist vivoditsya ale nen yiyi potribno vvoditi okremoyu aksiomoyu Teper mozhna rozglyadati x ta x yak psevdoobernennya chi spryazhennya odin do odnogo a takozh x do x Aksioma monotonnosti tezh mozhe buti zapisana cherez nerivnist x y x y y displaystyle x cdot y leq x lor y cdot y I navpaki nerivnist x y displaystyle x leq y mozhe buti zapisana yak x y x displaystyle x land y x chi x y y displaystyle x lor y y Tomu perejshovshi do viznachennya gratki cherez totozhnosti otrimayemo inshu signaturu L e displaystyle L land lor cdot e backslash PrikladiBulevi algebri ta algebri Gejtinga ye komutativnimi gratkami z dilennyamv yakih x y x y tomu odinicya mnozhennya e zbigayetsya z maksimalnim elementom 1 ta obidva dilennya x y ta y x ye odniyeyu operaciyeyu a same implikaciyeyu x y Div takozhDzherelaBirkgof G Teoriya reshyotok per s angl V N Salij pod red L A Skornyakova 3 e izd Moskva Nauka 1984 568 s ros Ward Morgan and 1939 Residuated lattices Trans Amer Math Soc 45 335 54 Reprinted in Bogart K Freese R and Kung J eds 1990 The Dilworth Theorems Selected Papers of R P Dilworth Basel Birkhauser