Ядро (статистика)

Ядро або ядрова функція — це вагова функція, що використовується в непараметричних методах оцінки. Ядра використовуються при ядерній оцінці щільності розподілу для оцінки густини випадкової величини, чи в ядерній регресії для оцінки умовного математичного сподівання випадкової величини. Ядра також використовуються в часових рядах як переіодограми для оцінки спектральної щільності. Додаткового використання ядра набули в оцінці інтенсивності точкового процесу зміної в часі.

Визначення

Ядром називається невід'ємна дійснозначна інтегровна функція K, яка задовольняє дві наступні властивості:

• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }K(u)\,du=1\,;}$
• ${\displaystyle K(-u)=K(u)\ \forall \ u\,.}$

Перша умова гарантує, що метод ядерної оцінки щільності розподілу дійсно дає густину випадкової величини. Друга — гарантує, що середнє значення знайденого розподілу дорівнює середньому значенню вибірки для якої оцінюють густину.

Якщо K — ядро, тоді функція K* визначена таким чином K*(u) = λ⁻¹K(λ⁻¹u), де λ > 0 також є ядерною функцією. Цю властивість можна використати для вибору масштабу максимально узгодженого з даними.

Використання ядер

Звичайно використовують кілька видів ядрових функцій: рівномірну, трикутну, Епанечнікова, Четвертинну (двоточкову), кубічну (триточкову), Гауса та косинусну.

В таблиці нижче, 1_{…} — характеристична функція.

Ядрові функції, K(u)			${\displaystyle \textstyle \int u^{2}K(u)du}$	${\displaystyle \textstyle \int K^{2}(u)du}$
Рівномірна	${\displaystyle K(u)={\frac {1}{2}}\,\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$
Трикутна	${\displaystyle K(u)=(1-|u|)\,\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{3}}}$
Епанечнікова	${\displaystyle K(u)={\frac {3}{4}}(1-u^{2})\,\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {3}{5}}}$
Четвертинна (двоточкова)	${\displaystyle K(u)={\frac {15}{16}}(1-u^{2})^{2}\,\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$	${\displaystyle {\frac {5}{7}}}$
Кубічна (триточкова)	${\displaystyle K(u)={\frac {35}{32}}(1-u^{2})^{3}\,\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{9}}}$	${\displaystyle {\frac {350}{429}}}$
Гауса	${\displaystyle K(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}u^{2}}}$		${\displaystyle 1\,}$	${\displaystyle {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}}$
Косинус	${\displaystyle K(u)={\frac {\pi }{4}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}u\right)\mathbf {1} _{\{|u|\leq 1\}}}$		${\displaystyle 1-{\frac {8}{\pi ^{2}}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{16}}}$
Логістичне	${\displaystyle K(u)={\frac {1}{e^{u}+2+e^{-u}}}}$		${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$
Сигмоїда	${\displaystyle K(u)={\frac {2}{\pi }}{\frac {1}{e^{u}+e^{-u}}}}$		${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi ^{2}}}}$
Ядро Сільвермана	${\displaystyle K(u)={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {|u|}{\sqrt {2}}}}\cdot \sin \left({\frac {|u|}{\sqrt {2}}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {3{\sqrt {2}}}{16}}}$

Графіки вищенаведених функцій

Див. також

• Ядерна оцінка щільності розподілу

Джерела

1. Silverman, B. W. (1986). Density Estimation for Statistics and Data Analysis. Chapman and Hall, London.

• Li, Qi; Racine, Jeffrey S. (2007). Nonparametric Econometrics: Theory and Practice. Princeton University Press. ISBN .

Посилання

• (англ.) (з малюнками).