Логістичний розподіл

Логістичний розподіл — неперервний ймовірнісний розподіл. Логістичний розподіл за формою нагадує нормальний розподіл, проте має більший коефіцієнт ексцесу.

Логістичний розподіл
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	${\displaystyle \mu \,}$ ${\displaystyle s>0\,}$
Носій функції	${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!}$
Розподіл імовірностей	${\displaystyle {\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\!}$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}\!}$
Середнє	${\displaystyle \mu \,}$
Медіана	${\displaystyle \mu \,}$
Мода	${\displaystyle \mu \,}$
Дисперсія	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}\!}$
Коефіцієнт асиметрії	${\displaystyle 0\,}$
Коефіцієнт ексцесу	${\displaystyle 6/5\,}$
Ентропія	${\displaystyle \ln(s)+2\,}$
Твірна функція моментів (mgf)	${\displaystyle e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)\!}$ для ${\displaystyle |s\,t|<1\!}$, Бета-функція
Характеристична функція	${\displaystyle e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)\,}$ для ${\displaystyle |ist|<1\,}$

Визначення розподілу

Функція щільності розподілу

Функція щільності (pdf) логістичного розподілу визначається за формулою:

${\displaystyle f(x;\mu ,s)={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\!}$

${\displaystyle ={\frac {1}{4\,s}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right).}$

Альтернативно визначивши підстановку ${\displaystyle \sigma ^{2}=\pi ^{2}\,s^{2}/3}$ одержується функція щільності:

${\displaystyle g(x;\mu ,\sigma )=f(x;\mu ,\sigma {\sqrt {3}}/\pi )={\frac {\pi }{\sigma \,4{\sqrt {3}}}}\,\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}\,{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right).}$

Функція розподілу

Функцією розподілу логістичного розподілу є логістична функція:

${\displaystyle F(x;\mu ,s)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}\!}$

${\displaystyle ={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\;\operatorname {tanh} \!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right).}$

Моменти розподілу

Математичне сподівання

${\displaystyle E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {xe^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\!dx=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {x}{4\,s}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left({\frac {x-\mu }{2\,s}}\right)dx}$

Підставимо: ${\displaystyle u={\frac {(x-\mu )}{2s}},du={\frac {1}{2s}}dx}$

${\displaystyle E[X]=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {2\,s\,u+\mu }{2}}\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du}$

${\displaystyle E[X]=s\int _{-\infty }^{\infty }u\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du+{\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du}$

Справедлива рівність: ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }u\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du=0}$

${\displaystyle E[X]={\frac {\mu }{2}}\int _{-\infty }^{\infty }\;\operatorname {sech} ^{2}\!\left(u\right)du={\frac {\mu }{2}}\,2=\mu }$

Моменти вищих порядків

Центральний момент n-го порядку може бути обчислений:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]&=\int _{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}dF(x)=\int _{0}^{1}{\big (}F^{-1}(p)-\mu {\big )}^{n}dp\\&=s^{n}\int _{0}^{1}{\Big [}\ln \!{\Big (}{\frac {p}{1-p}}{\Big )}{\Big ]}^{n}\,dp.\end{aligned}}}$

Інтеграл може бути виражений через числа Бернуллі:

${\displaystyle \operatorname {E} [(X-\mu )^{n}]=s^{n}\pi ^{n}(2^{n}-2)\cdot |B_{n}|.}$

Див. також

• Нормальний розподіл

Література

• N., Balakrishnan (1992). Handbook of the Logistic Distribution. Marcel Dekker, New York. .
• Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Continuous Univariate Distributions. Vol. 2 (2nd Ed. ed.). .