Число розв'язування

Число розв'язування в теорії вузлів — один з важливих інваріантів вузла, найменше число перемикання мостів, тобто число переходів крізь себе, після чого вузол розв'язується.

Трилисник розв'язується шляхом перемикання одного моста.

Числа розв'язування деяких вузлів

Будь-який складений вузол має число розв'язування щонайменше 2, а тому будь-який вузол з числом розв'язування 1 є простим. У таблиці наведено перші декілька вузлів та їхні числа розв'язування:

• Трилисник
  число розв'язування = 1
• Вісімка
  число розв'язування = 1
• Перстач
  число розв'язування = 2
• Вузол на три півоберти
  число розв'язування = 1
• Стивідорний вузол
  число розв'язування = 1
• ^[en]
  число розв'язування = 1
• ^[en]
  число розв'язування = 1
• 7₁
  число розв'язування = 3

Властивості

Якщо вузол має число розв'язування ${\displaystyle n}$, існує (діаграма вузла), яку можна звести до тривіального вузла перемиканням ${\displaystyle n}$ перетинів. Число розв'язування вузла завжди менше від половини його числа перетинів.

У загальному випадку досить складно визначити число розв'язування заданого вузла. Випадки, для яких число розв'язування відоме:

• Число розв'язування нетривіального скрученого вузла завжди дорівнює 1.
• Число розв'язування ${\displaystyle (p,q)}$-торичного вузла дорівнює ${\displaystyle (p-1)(q-1)/2}$.
• Числа розв'язування простих вузлів з числом перетинів дев'ять і менше відомі (число розв'язування простого вузла 10₁₁ невідоме).

Інші числові інваріанти вузлів

• Число перетинів
• Число мостів
• Коефіцієнт зачеплення
• Число відрізків

Див. також

• Задача розв'язування

Примітки

1. Adams, 2004, с. 56.
2. Taniyama, 2009, с. 1049—1063.
3. Weisstein, Eric W. Unknotting Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

Література

• Kouki Taniyama. Unknotting numbers of diagrams of a given nontrivial knot are unbounded // Journal of Knot Theory and its Ramifications. — 2009. — Т. 18, вип. 8. — DOI:10.1142/S0218216509007361.
• Colin Conrad Adams. The knot book: an elementary introduction to the mathematical theory of knots. — Providence, Rhode Island : American Mathematical Society, 2004. — .

Посилання

• Число розв'язування|Knot Atlas