Числа Люка

Не плутати з послідовностями Люка — загальний клас послідовностей до якого належать числа Люка.

Числа Люка або ряд Люка — цілочисельна послідовність, яка названа на честь математика Франсуа Едуара Анатоля Люка (1842–1891), який вивчав як цю послідовність, так і тісно пов’язані числа Фібоначчі. Числа Люка та числа Фібоначчі утворюють доповняльні випадки послідовностей Люка.

Послідовність Люка має таке саме рекурсивне співвідношення як і послідовність Фібоначчі, де кожен доданок є сумою двох попередніх доданків, але з різними початковими значеннями. Це приводить до послідовності, де відношення послідовних доданків наближаються до золотого перерізу, і фактично самі члени є наближеннями цілих степенів золотого перерізу. Послідовність також має різноманітні взаємозв’язки з числами Фібоначчі. Наприклад, додавання будь-яких двох чисел Фібоначчі, розділених двома членами в послідовності Фібоначчі, приводить числа Люка між ними.

Кілька перших чисел Люка

${\displaystyle 2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,\dots .}$

Означення

Аналогічно до чисел Фібоначчі, кожне число Люка визначається як сума двох безпосередніх попередніх членів, утворюючи тим самим ( цілочисельну послідовність Фібоначчі). Перші два числа Люка — це ${\textstyle L_{0}=2}$ та ${\textstyle L_{1}=1}$ на відміну від перших двох чисел Фібоначчі ${\textstyle F_{0}=0}$ та ${\textstyle F_{1}=1}$. Незважаючи на тісний зв’язок в означенні, числа Люка та Фібоначчі мають різні властивості.

Числа Люка можуть бути визначені наступним чином:

${\displaystyle L_{n}:={\begin{cases}2&{\text{якщо }}n=0;\\1&{\text{якщо }}n=1;\\L_{n-1}+L_{n-2}&{\text{якщо }}n>1.\end{cases}}}$

(де ${\textstyle n}$ — ${\textstyle 0}$ або натуральне число).

Послідовність перших дванадцяти чисел Люка наступна:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, 2207, 3571, 5778, 9349, ... . послідовність A000032 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Усі цілочисельні послідовності типу Фібоначчі з’яляються у зсувній формі як рядки ^[en]; сама послідовність Фібоначчі є першим рядком, а послідовність Люка — другим рядком. Також, як і всі цілочисельні послідовності типу Фібоначчі, відношення між двома послідовними числами Люка збігається до золотого перерізу.

Узагальнення на від’ємні цілі числа

Використовуючи ${\textstyle L_{n-2}=L_{n}-L_{n-1}}$, можна розширити числа Люка на від’ємні цілі числа, щоб отримати подвійно нескінченну послідовність:

..., −11, 7, −4, 3, −1, 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... (значення ${\displaystyle L_{n}}$ для ${\displaystyle -5\leq {}n\leq 5}$).

Формула значень з від’ємними індексами в цій послідовності

${\displaystyle L_{-n}=(-1)^{n}L_{n}.}$

Зв’язок з числами Фібоначчі

Числа Люка пов’язані з числами Фібоначчі багатьма тотожностями. Серед них такі:

• ${\textstyle L_{n}=F_{n-1}+F_{n+1}=F_{n}+2F_{n-1}=F_{n+2}-F_{n-2}}$,
• ${\textstyle L_{m+n}=L_{m+1}F_{n}+L_{m}F_{n-1}}$,
• ${\textstyle L_{n}^{2}=5F_{n}^{2}+4(-1)^{n}}$, а отже якщо ${\textstyle n}$ наближається до ${\textstyle +\infty }$ співвідношення ${\textstyle {\frac {L_{n}}{F_{n}}}}$ наближається до ${\textstyle {\sqrt {5}}}$,
• ${\textstyle F_{2n}=L_{n}F_{n}}$,
• ${\textstyle L_{2n}=5F_{n}^{2}+2(-1)^{n}=L_{n}^{2}-2(-1)^{n}}$,
• ${\textstyle F_{n+k}+(-1)^{k}F_{n-k}=L_{k}F_{n}}$,
• ${\textstyle L_{n+k}-(-1)^{k}L_{n-k}=5F_{n}F_{k}}$, зокрема, ${\textstyle F_{n}={L_{n-1}+L_{n+1} \over 5}}$.

Їх замкнена формула подана як

${\displaystyle L_{n}=\varphi ^{n}+(1-\varphi )^{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}=\left({1+{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n}+\left({1-{\sqrt {5}} \over 2}\right)^{n},}$

де ${\textstyle \varphi }$ це золотий перетин. Інакше, для ${\textstyle n>1}$ величина виразу ${\textstyle (-\varphi )^{-n}}$ менше ніж ${\textstyle 1/2,}$ ${\textstyle L_{n}}$ є найближчим цілим числом до ${\textstyle \varphi ^{n}}$ або, що еквівалентно, ціла частина ${\textstyle \varphi ^{n}+1/2}$ , також записується як ${\textstyle \lfloor \varphi ^{n}+1/2\rfloor }$. Поєднуючи вищесказане з формулою Біне

${\displaystyle F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}},}$

одержуємо формулу для ${\textstyle \varphi ^{n}}$:

${\displaystyle \varphi ^{n}={{L_{n}+F_{n}{\sqrt {5}}} \over 2}.}$

Подільність чисел Люка

Перший підхід до питання про подільність ${\textstyle L_{n}}$ на ціле число ${\textstyle a}$ полягає у вивченні послідовності залишків від ${\textstyle L_{n}}$ за модулем ${\textstyle a}$ : ця послідовність ${\textstyle (r_{n})}$ перевіряє (в ${\textstyle Z/aZ}$) одну і ту ж рекурентність ${\textstyle (r_{n+2}=r_{n+1}+r_{n})}$ і, отже, є періодичною з періодом не більше ${\textstyle a^{2}}$ (довжини періодів функції ${\textstyle a}$ утворюють послідовність періодів Пізано, послідовність A001175 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Точніше, дослідження цієї рекурентності та співвідношення ${\textstyle L_{n}=F_{2n}/F_{n}}$, у полі ${\textstyle Z/pZ}$ (де ${\displaystyle p}$ - просте число) призводить до результатів, подібних до тих, що були отримані для послідовності Фібоначчі.

Ми також показуємо, що жодне число Люка не ділиться на число Фібоначчі ${\displaystyle F_{n}\geqslant 5}$ .

Відношення конгруентності

Якщо ${\textstyle F_{n}\geq 5}$ є числом Фібоначчі, тоді жодне число Люка не ділиться на ${\textstyle F_{n}}$.

${\textstyle L_{n}}$ відповідає ${\textstyle 1\mod n}$ якщо ${\textstyle n}$ є простим, але деякі складені значення ${\textstyle n}$ також мають цю властивість. Це ^[en].

${\textstyle L_{n}-L_{n-4}}$ конгруентно ${\textstyle 0\mod 5}$.

Прості числа Люка

Просте число Люка — це число Люка, яке є простим. Перші кілька простих чисел Люка

2, 3, 7, 11, 29, 47, 199, 521, 2207, 3571, 9349, 3010349, 54018521, 370248451, 6643838879, ... послідовність A005479 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Індекси цих простих чисел (наприклад, ${\textstyle L_{4}=7}$)

0, 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787, 4793, 5851, 7741, 8467, ... послідовність A001606 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Якщо ${\textstyle L_{n}}$ є простим, тоді ${\textstyle n}$ дорівнює ${\textstyle 0}$, є простим або степенем ${\textstyle 2}$. ${\textstyle L_{2^{m}}}$ є простим для ${\textstyle m=1,2,3}$, і ${\textstyle 4}$ і жодних інших відомих значень ${\textstyle m}$.

Генерування рядів

Нехай

${\displaystyle \Phi (x)=2+x+3x^{2}+4x^{3}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n}}$

буде генератрисою чисел Люка. Шляхом прямого обчислення,

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x)&=L_{0}+L_{1}x+\sum _{n=2}^{\infty }L_{n}x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=2}^{\infty }(L_{n-1}+L_{n-2})x^{n}\\&=2+x+\sum _{n=1}^{\infty }L_{n}x^{n+1}+\sum _{n=0}^{\infty }L_{n}x^{n+2}\\&=2+x+x(\Phi (x)-2)+x^{2}\Phi (x)\end{aligned}}}$

який можна перегрупувати як

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {2-x}{1-x-x^{2}}}.}$

Розкладання на прості дроби задає

${\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{1-\varphi x}}+{\frac {1}{1-\phi x}},}$

де ${\textstyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ — золотий перетин і ${\textstyle \phi ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}}$ є його спряженим.

Многочлени Люка

Так само, ^[en]виводяться з чисел Фібоначчі, ^[en] ${\textstyle L_{n}(x)}$ є ^[en], отриманою з чисел Люка.

Застосування

Числа Люка є другою за поширеністю схемою у соняшників після чисел Фібоначчі, коли враховуються спіралі за годинниковою стрілкою та проти годинникової стрілки, згідно з аналізом 657 соняшників у 2016 році.

Див. також

• Узагальнення чисел Фібоначчі

Примітки

1. Weisstein, Eric W. “Lucas Number”. mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-11.
2. Parker, Matt (2014). “13”. Things to Make and Do in the Fourth Dimension. Farrar, Straus and Giroux. p. 284. .
3. Parker, Matt (2014). “13”. Things to Make and Do in the Fourth Dimension. Farrar, Straus and Giroux. p. 282. .
4. T. Lengyel, The order of the Fibonacci and the Lucas numbers, Fibonacci Quarterly, 1995.
5. Thomas Jeffery et Rajesh Pereira, Divisibility Properties of the Fibonacci, Lucas, and Related Sequences, 2013.
6. Chris Caldwell, “The Prime Glossary: Lucas prime” from The Prime Pages
7. Swinton, Jonathan; Ochu, Erinma; null, null (2016). Novel Fibonacci and non-Fibonacci structure in the sunflower: results of a citizen science experiment. Royal Society Open Science. 3 (5): 160091. Bibcode:2016RSOS....360091S. doi:10.1098/rsos.160091. PMC 4892450. PMID 27293788.

Зовнiшнi посилання

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), polynomials Lucas polynomials, Математична енциклопедія, , ISBN 
• Weisstein, Eric W. Lucas Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Weisstein, Eric W. Lucas Polynomial(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• "", Dr Ron Knott
• послідовність A000032 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS