Флуктуативно-дисипативна теорема

Флуктуативно-дисипативна теорема — співвідношення між величиною флуктуацій в термодинамічній системі й узагальненим відгуком системи на зовнішнє збурення.

Флуктуативно-дисипативна теорема встановлює зв'язок між середньо-квадратичним відхиленням фізичної величини ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle x^{2}}$ та дисипативними властивостями середовища:

${\displaystyle \langle x^{2}\rangle ={\frac {\hbar }{\pi }}\int _{0}^{\infty }\alpha ^{\prime \prime }(\omega ){\text{cth}}\,\left({\frac {\hbar \omega }{2k_{B}T}}\right)d\omega }$,

де ${\displaystyle \alpha ^{\prime \prime }}$ - уявна частина узагальненої сприйнятливості, ${\displaystyle \hbar }$ - зведена стала Планка, ${\displaystyle \omega }$ - частота, ${\displaystyle k_{B}}$ - стала Больцмана, T - температура.

Фізична природа

Флуктуаційно-дисипативна теорема є математичним узагальненням того факту, що при флуктуаціях відбуваються ті ж процеси, що й при зовнішньому збуренні системи. Флуктуації та наслідки зовнішнього збурення затухають (дисипують) схожим чином. Наприклад, при проходженні електричного струму в напівпровіднику виділяється тепло - це дисипативний процес. В напівпровіднику можуть також виникнути флуктуації концентрації носіїв заряду. Для виникнення таких флуктуацій необхідна енергія, яка надходить від теплових коливань кристалічної ґратки. При розсмоктуванні флуктуацій відбуваються ті ж процеси дисипації енергії, що й при проходженні струму. Як наслідок, енергія повертається кристалічній ґратці.

Класичний випадок

При високій температурі, коли ${\displaystyle k_{B}T\gg \hbar \omega }$ для спектральної компоненти середньо-квадратичного відхилення справедлива простіша формула:

${\displaystyle \langle x^{2}\rangle _{\omega }={\frac {2k_{B}T}{\omega }}\alpha ^{\prime \prime }}$,

яка виконується не лише у квантовому випадку, а й при класичному розгляді.

Якщо ${\displaystyle k_{B}T\gg \hbar \omega }$ справедливо для всього спектру флуктуацій, то:

${\displaystyle \langle x^{2}\rangle =k_{B}T\alpha (0)\,}$,

тобто величина флуктуацій зв'язана із статичним значенням функції відгуку.

Приклади

Прикладом флуктуативно-дисипативної теореми є співвідношення Ейнштейна:

${\displaystyle D=k_{B}T\mu \,}$,

яке зв'язує коефіцієнт дифузії D та рухливість ${\displaystyle \mu }$.

Флуктуативно-дисипативну теорему сформулювали (інші мови) та (інші мови) у 1951 році.

Формула Найквіста

В 1928 р. Джон Б. Джонсон виявив, а Гаррі Найквіст пояснив явище теплового шуму. При відсутності струму, що протікає через електричний опір, середня квадратична напруга залежить від опору ${\displaystyle R}$, ${\displaystyle k_{B}T}$ та ширини частотного діапазону вимірювань ${\displaystyle \Delta \nu }$ :

${\displaystyle \langle V^{2}\rangle =4Rk_{B}T\Delta \nu }$.

Висновок

В електричних провідниках найбільш стійкими флуктуаціями виявляються такі, що призводять до виникнення стоячих хвиль. Число стоячих електромагнітних хвиль з частотою від ${\displaystyle \nu }$ до ${\displaystyle \nu +d\nu }$ в провіднику довжиною ${\displaystyle L}$ з врахуванням поляризації рівне ${\displaystyle dn(\nu )=2\cdot {\frac {2Ld\nu }{c}}}$. Будемо вважати, що на кожну стоячу хвилю приходиться енергія ${\displaystyle k_{B}T}$, що відповідає енергії гармонічного осцилятора. Тоді енергія стоячих хвиль з частотою від ${\displaystyle \nu }$ до ${\displaystyle \nu +d\nu }$ буде ${\displaystyle dE(\nu )=4\cdot {\frac {L}{c}}d\nu k_{B}T}$. Потужність на одиницю довжини кола дорівнює ${\displaystyle dW={\frac {dE(\nu )}{\frac {L}{c}}}=4k_{B}Td\nu }$. Вся енергія флуктуаційних струмів знову переходить в тепло на опорі. Втрата потужності на одиниці довжини провідника з опором ${\displaystyle R}$ по закону Джоуля-Ленца дорівнює ${\displaystyle {\frac {dW(\nu )}{d\nu }}={\frac {\langle {V^{2}}\rangle (\nu )}{R}}}$, де ${\displaystyle \langle V^{2}\rangle }$ - середній квадрат флуктуаційної ЕРС для хвиль з частотою ${\displaystyle \nu }$. Отримуємо формулу Найквіста:

${\displaystyle \langle V^{2}\rangle =4Rk_{B}T\Delta \nu }$.

Примітки

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М.:Статистическая физика. Часть 1. — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2001. — 616 с. — («Теоретическая физика», том V). —
2. Ноздрев В. Ф., Сенкевич А. А. Курс статистической физики. - М., Высшая школа, 1969. - c. 189