Фактор Фано

Фактор Фано — термін статистики, що як і коефіцієнт варіації, є мірою дисперсії розподілу ймовірності . Фактор отримав назву на честь Уґо Фано.

Фактор Фано визначається так:

${\displaystyle F={\frac {\sigma _{W}^{2}}{\mu _{W}}},}$

де ${\displaystyle \sigma _{W}^{2}}$ — варіація і ${\displaystyle \mu _{W}}$ — серднє випадкового процесу на певному проміжку ${\displaystyle W}$. Фактор Фано розглядається як відношення шуму до сигналу; це міра точності, з якою випадкове число може бути оцінене на часовому проміжку, протягом якого відбуваються кілька випадкових подій.

Для пуассонівського процесу варіація дорівнює середньому, тому ${\displaystyle F=1}$ (нормалізація).

Якщо часовий проміжок дорівнює нескінченності фактор Фано дорівнює індексу дисперсії.

Визначення

Для процесу підрахунку ${\displaystyle N_{t}}$, фактор Фано ${\displaystyle t>0}$ задається як

${\displaystyle F(t)={\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}.}$

Іноді фактором Фано також називають границю

${\displaystyle F=\lim _{t\to \infty }F(t).}$

Для процесу відновлення з моментами затримки, розподіленими схожим чином із випадковою величиною ${\displaystyle S}$, маємо, що

${\displaystyle F=\lim _{t\to \infty }F(t)=\lim _{t\to \infty }{\frac {\operatorname {Var} (N_{t})}{\operatorname {E} [N_{t}]}}={\frac {\operatorname {Var} (S)}{\operatorname {E} [S]^{2}}}.}$

Ураховуючи, що права частина рівності дорівнює квадрату коєфіцієнту варіяції ${\displaystyle c_{v}^{2}=\operatorname {Var} (S)/\operatorname {E} [S]^{2}}$,її також іноді називають фактором Фано.

Інтерпретація

Фактор Фано часто інтерпретується як непередбачуваність основного процесу, бо він приблизно відповідає ширині піку ${\displaystyle N_{t}}$.

Приклад: Стала Випадкова Величина

Якщо моменти затримки сталі, то ${\displaystyle F=0}$. Себто, при ${\displaystyle F\approx 0}$ ми інтерпретуємо процес відновлення як доволі передбачуваний.

Приклад: Підрахунковий Процес Пуасона

Для такого процесу ${\displaystyle F=1}$.

Див. також

• Уґо Фано

Посилання

1. Fano, U. (1947). "Ionization Yield of Radiations. II. The Fluctuations of the Number of Ions". Physical Review 72: 26.
2. Cox, D.R. (1962). Renewal Theory.
3. Shuai, J. W.; Zeng, S.; Jung, P. (2002). Coherence resonance: on the use and abuse of the fano factor. Fluctuat. Noise Lett.