Трикутна потенційна яма

Трикутна квантова яма — одновимірна потенційна яма, обмежена з одного боку нескінченно високою потенційною стінкою, а з іншого — потенціалом, що лінійно зростає зі збільшенням координати. Один із простих профілів потенціалу у квантовій механіці, що допускають точне розв'язання задачі про знаходження рівнів енергії та хвильових функцій частки, що знаходиться в ямі.

Розглянемо потенціальну енергію ${\displaystyle U(x)}$ в наступному вигляді:

${\displaystyle U(x)={\begin{cases}eEx,&x\geq \;0\\+\infty ,&x<0\end{cases}}}$

де ${\displaystyle x}$ — координата, ${\displaystyle e}$ — заряд електрону, ${\displaystyle E}$ — напруженість електричного поля, що визначає потенційну енергію, ${\displaystyle eE>0}$.

Рівняння Шредінгера в даному одномірному випадку можна записати у вигляді:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {2m}{\hbar \;^{2}}}(W-eEx)\psi =0.}$

Для спрощення подальшого розгляду введемо безрозмірну змінну у вигляді:

${\displaystyle \xi =(-x+{\frac {W}{eE}})({\frac {2meE}{\hbar \;^{2}}})^{1/2}.}$

Таким чином, отримаємо рівняння Шредінгера, яке не залежить від параметра енергії:

${\displaystyle \psi ''(\xi )+\xi \psi (\xi )=0.}$

Розв'язок даного рівняння є

${\displaystyle \psi (\xi )=C\mathrm {Ai} (-\xi ),}$

де функції Ейрі визначені таким чином:

${\displaystyle \mathrm {Ai} (\xi )={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{+\infty }\cos({\frac {u^{3}}{3}}+u\xi )\,du}$

Основна особливість даної задачі полягає в тому, що при ${\displaystyle x=0}$ потенційна енергія різко зростає, і тому ми повинні для зшивання хвильових функцій використати умову:

${\displaystyle \psi (\xi _{j})=0,}$

де ${\displaystyle -\xi _{j}}$ — від'ємні корені функції Ейрі. Можна привести перші 5 значень цих коренів: ${\displaystyle \xi _{1}=2,33810741}$, ${\displaystyle \xi _{2}=4,08794944}$, ${\displaystyle \xi _{3}=5,52055983}$, ${\displaystyle \xi _{4}=6,78670809}$, ${\displaystyle \xi _{5}=7,94413359}$.

Таким чином, ми маємо дискретний спектр енергій для трикутної потенційної ями у вигляді:

${\displaystyle W_{j}=\xi _{j}{\big [}{\frac {eE\hbar \;}{\sqrt {2m}}}{\big ]}^{2/3}.}$

Константа ${\displaystyle C}$ може бути визначена з умови нормування хвильової функції:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }{dx}{{\left|\psi _{j}\left(x\right)\right|}^{2}}=1\,,}$

звідки знаходимо, що

${\displaystyle {{C}_{j}}={\frac {1}{Ai'\left(-{{\xi }_{j}}\right)}}\left({\frac {2meE}{\hbar \;^{2}}}\right)^{1/6}\,,}$

де ${\displaystyle Ai'(\xi )}$ — похідна функції Ейрі.

Оскільки між потенційною енергією та дискретним спектром справедливе наступне співвідношення в точках, що обмежують класично доступну ділянку:

${\displaystyle U(x_{j})=eEx_{j}=W_{j}}$

тому ми можемо знайти значення координати ${\displaystyle x_{j}}$: ${\displaystyle x_{j}=\xi _{j}{\big (}{\frac {\hbar \;^{2}}{2meE}}{\big )}^{1/3}}$

Широкого розповсюдження дана задача набула в дослідженнях 2D-систем електронного газу інверсних шарів на поверхні розділу діелектрик — напівпровідник.

Література

• Olivier Vallee, Manuel Soares. Airy functions and applications to physics. — London : Imperial College Press, 2004. — 194 с. — .
• Андо Т., Фаулер А., Стерн Ф. Электронные свойства двумерных систем. — М. : Мир, 1985. — 416 с.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория // Теоретическая физика. — М. : Физматлит, 2008. — Т. 3. — 800 с.

Посилання

Див. також

• Квантовий рух у прямокутній потенційній ямі
• Осциляції Зенера - Блоха
• Квантовий осцилятор
• Рівні Ландау