Тест Тьюкі адитивності

У статистиці, тест Тьюкі аддитивності, названий на честь Джона Тьюкі, є підходом, що використовується у двосторонній ANOVA (регресійний аналіз за участю двох якісних факторів), щоб оцінити, чи є змінні фактора адитивно пов'язаними з очікуваним значенням змінної відгуку. Він може застосовуватися, коли немає реплікації значень в наборі даних, ситуація, при якій неможливо безпосередньо оцінити повністю загальну неаддитивну структуру регресії і все ще мати інформацію для оцінки дисперсії помилки. Тестова статистика запропонована Тьюкі має одну ступінь свободи при нульовій гіпотезі, отже, його часто називають «тест Тьюкі з одним ступенем свободи».

Введення

Найбільш поширеним урегулюванням для теста Тьюкі адитивності є двосторонній факторний аналіз дисперсії (ANOVA) з одним спостереженням на клітинку. Змінна результату Y_ij спостерігалася в таблиці з рядками проіндексованими i = 1,…, m , а стовпці проіндексовані j = 1,…, n . Рядки та стовпці зазвичай відповідають різним типам і рівням обробки, які застосовуються в комбінації.

Адитивна модель стверджує, що очікуваний результат може бути виражений так: EY_ij = μ + α_i + β_j, де α_i та β_j невідомі константи. Невідомі параметри моделі, як правило, оцінюється як:

${\displaystyle {\hat {\mu }}={\bar {Y}}_{\cdot \cdot }}$

${\displaystyle {\hat {\alpha }}_{i}={\bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot }}$

${\displaystyle {\hat {\beta }}_{j}={\bar {Y}}_{\cdot j}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot }.}$

де Y_i• — середнє i-того рядка таблиці даних, Y_•j — середнє j-того стовпчика таблиці даних, Y_•• є спільним середнім всієї таблиці.

Адитивну модель може бути узагальнено, щоб врахувати довільні ефекти взаємодії, встановивши EY_ij = μ + α_i + β_j + γ_ij . Однак після установки природної оцінки γ_ij :

${\displaystyle {\hat {\gamma }}_{ij}=Y_{ij}-({\hat {\mu }}+{\hat {\alpha }}_{i}+{\hat {\beta }}_{j}),}$

Так, щоб він відповідав наступній величині:

${\displaystyle {\hat {Y}}_{ij}={\hat {\mu }}+{\hat {\alpha }}_{i}+{\hat {\beta }}_{j}+{\hat {\gamma }}_{ij}\equiv Y_{ij}}$

Таким чином не залишилося степенів свободи для оцінки дисперсії σ² і ніякої перевірки гіпотез про γ_ij не може виконуватись.

Тому Тьюкі пропонує обмеженішу модель взаємодії у вигляді:

${\displaystyle EY_{ij}=\mu +\alpha _{i}+\beta _{j}+\lambda \alpha _{i}\beta _{j}}$

З перевіркою нульової гіпотези, що λ = 0 , ми можемо виявити деякі відхилення від адитивності на основі лише одного параметру λ .

Метод

Для проведення тесту Тьюкі, встановіть:

${\displaystyle SS_{A}\equiv n\sum _{i}({\bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2}}$

${\displaystyle SS_{B}\equiv m\sum _{j}({\bar {Y}}_{\cdot j}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2}}$

${\displaystyle SS_{AB}\equiv {\frac {\sum _{ij}Y_{ij}({\bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })({\bar {Y}}_{\cdot j}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })}{\sum _{i}({\bar {Y}}_{i\cdot }-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2}\sum _{j}({\bar {Y}}_{\cdot j}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2}}}}$

${\displaystyle SS_{T}\equiv \sum _{ij}(Y_{ij}-{\bar {Y}}_{\cdot \cdot })^{2}}$

${\displaystyle SS_{E}\equiv SS_{T}-SS_{A}-SS_{B}-SS_{AB}}$

Потім використовуйте наступну статистику тестів:

${\displaystyle {\frac {SS_{AB}}{SS_{E}}}.}$ .

При нульовій гіпотезі, статистика тестів має розподіл F =1, q степенів свободи, де q = mn − (m + n) є ступенями свободи для оцінки дисперсії помилки.

Див. також

• Дисперсійний аналіз

Пимітки

1. Tukey, John (1949). One degree of freedom for non-additivity. Biometrics. 5 (3): 232—242. doi:10.2307/3001938. JSTOR 3001938.
2. Alin, A. and Kurt, S. (2006). «Testing non-additivity (interaction) in two-way ANOVA tables with no replication». Statistical Methods in Medical Research 15, 63—85.

Джерела

1. Критерий Тьюки-Крамера на www.machinelearning.ru (рос.)
2. Харченко М. А. Теория статистического вывода: Учебное пособие для вузов. — Воронеж : Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета, 2008. — 80 с. (PDF) (рос.)