Теорема перпендикулярних осей

Теорему перпендикулярних осей — можна використати для визначення моменту інерції твердого тіла, що цілком лежить у площині, щодо осі перепендикулярної до цієї площини, якщо ми знаємо моменти інерції об'єкта щодо двох перпендикулярних осей, які лежать в площині. Всі осі мають проходити через одну точку в площині.

Визначимо перпендикулярні осі ${\displaystyle x\,}$, ${\displaystyle y\,}$ і ${\displaystyle z\,}$ (які зустрічаються в початку координат ${\displaystyle O\,}$) так, що тіло лежить в площині ${\displaystyle xy\,}$ і вісь ${\displaystyle z\,}$ перпендикулярна до площини тіла. Нехай I_x, I_y і I_z це моменти інерції щодо x, y, z відповідно, теорема перпендикулярних осей стверджує, що

${\displaystyle I_{z}=I_{x}+I_{y}\,}$

Це правило можна застосовувати із теоремою Гюйгенса — Штейнера і для віднайдення моментів інерції різних форм.

Виведення

Говорячи про декартові координати, момент інерції плоского тіла навколо осі ${\displaystyle z\,}$ є:

${\displaystyle I_{z}=\int \left(x^{2}+y^{2}\right)\,dm=\int x^{2}\,dm+\int y^{2}\,dm=I_{y}+I_{x}}$

В площині, ${\displaystyle z=0\,}$, отже ці два доданки є моментами інерції навколо осей ${\displaystyle y\,}$ і ${\displaystyle x\,}$ відповідно, звідки теорема. Зворотне твердження виводиться подібним чином.

Зауважте, що ${\displaystyle \int x^{2}\,dm=I_{y}\neq I_{x}}$ бо в ${\displaystyle \int r^{2}\,dm}$, r вимірює відстань від осі обертання, отже у випадку обертання навколо осі y, відхилення точки від осі обертання дорівнює її x-координаті.

Див. також

• Теорема Гюйгенса — Штейнера (паралельних осей)

Примітки

1. Paul A. Tipler (1976). Ch. 12: Rotation of a Rigid Body about a Fixed Axis. Physics. Worth Publishers Inc. ISBN .
2. K. F. Riley, M. P. Hobson & S. J. Bence (2006). Ch. 6: Multiple Integrals. Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. ISBN .