Теорема Фробеніуса-Перрона

Теорема Перрона — Фробеніуса — теорема, що описує деякі властивості спектру додатних та невід'ємних квадратних матриць. Названа на честь німецьких математиків ^[en] (який довів її для додатного випадку) і Георга Фробеніуса. Результати теореми використовуються у теорії ймовірностей (при дослідженні властивостей ланцюгів Маркова зі скінченною кількістю станів), математичній економіці (зокрема при дослідженні моделі Леонтьєва) та ін.

Твердження для додатних матриць

Нехай A — деяка додатна квадратна матриця, тобто ${\displaystyle a_{ij}>0,\quad \forall i,j.}$

Тоді виконуються такі твердження:

• Матриця A має деяке дійсне додатне власне число r.
• Всі інші власні числа матриці A (дійсні чи комплексні) за модулем менші від r.
• Дане власне значення є простим коренем характеристичного рівняння.
• Існує власний вектор, що відповідає r і має строго додатні координати
• Серед власних векторів, що відповідають іншим власним значенням немає жодного зі строго додатними координатами.
• Виконуються нерівності:

${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$

Результати цього твердження залишаються в силі, якщо замість додатних матриць розглядати примітивні матриці, тобто такі деяка степінь яких є додатною матрицею.

Невід'ємні нерозкладні матриці

Матриця A розмірності n з невід'ємними елементами називається розкладною якщо вона задовольняє такі еквівалентні умови:

• Існує така підмножина ${\displaystyle S\subset \{1,2,\ldots ,n\},}$ що виконуються рівності: ${\displaystyle a_{ij}=0\quad \forall i\in S,j\notin S}$
• Деякою перестановкою рядків і стовпців матрицю можна привести до вигляду:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}B&0\\C&D\end{bmatrix}}}$

де B і D — деякі квадратні матриці, 0 — нуль-матриця.

Якщо такої множини індексів S не існує (і матрицю не можна привести до вказаного виду), то матриця називається нерозкладною.

Іншими еквівалентними означеннями нерозкладних матриць є:

• ${\displaystyle (I+A)^{n-1}>0}$

де I — одинична матриця.

• Для будь-яких цілих чисел (i, j) таких що ${\displaystyle 1\leqslant i,j\leqslant n}$ існує число ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n,}$ що виконується: ${\displaystyle (A^{k})_{ij}>0}$
• Нехай введено орієнтований граф вершини якого відповідають рядкам і стовпцям матриці і від вершини i до вершини j дуга йде тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle a_{ij}>0.}$ Тоді матриця A є нерозкладною тоді і тільки тоді, коли відповідний граф є сильно зв'язаним.

Твердження для невід'ємних нерозкладних матриць

Нехай A — деяка невід'ємна нерозкладна матриця.

Тоді виконуються такі твердження:

• Матриця A має деяке дійсне додатне власне число r.
• Всі інші власні числа матриці A (дійсні чи комплексні) за модулем не більші від цього числа r.
• Дане власне значення є простим коренем характеристичного рівняння.
• Існує власний вектор, що відповідає r і має строго додатні координати
• Серед власних векторів, що відповідають іншим власним значенням немає жодного із невід'ємними координатами.
• Якщо r є одним із h власних значень рівних за модулем r то ці власні значення рівні усім кореням рівняння ${\displaystyle \lambda ^{h}-r^{h}=0}$ і відповідно кожне є простим коренем характеристичного рівняння.
• Виконуються нерівності:

${\displaystyle \min _{i}\sum _{j}a_{ij}\leq r\leq \max _{i}\sum _{j}a_{ij}.}$

Невід'ємні розкладні матриці

У випадку розкладних матриць згадане в теоремі власне число теж існує, проте воно не обов'язково має бути алгебраїчно простим, а відповідний вектор(вектори) можуть не бути додатними але є невід'ємними.

Див. також

• Стохастична матриця
• Ланцюги Маркова

Література

1. Пономаренко О. І.,Перестюк М. О.,Бурим В. М. Основи математичної економіки. — К.: Інформтехніка, 1995.
2. Bapat R. B., Raghavan T. E. S. Nonnegative matrices and applications, Cambridge University Press, 1997,
3. R.A. Horn and C.R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1990 (chapter 8).
4. A. Graham, Nonnegative Matrices and Applicable Topics in Linear Algebra, John Wiley&Sons, New York, 1987.
5. Henryk Minc, Nonnegative matrices, John Wiley&Sons, New York, 1988,
6. C. Godsil and G. Royle, Algebraic Graph Theory, Springer, 2001 (chapter 8).
7. A. Berman and R. J. Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, Academic Press, 1979.