Теорема Скитовича — Дармуа

Теорема Скитовича-Дармуа — одна з характеризаційних теорем математичної статистики. Вона характеризує нормальний розподіл (розподіл Ґаусса). Ця теорема була доведена незалежно та ^[en].

Формулювання теореми

Нехай ${\displaystyle \xi _{j},j=1,2,\dots ,n,n\geq 2}$ — незалежні випадкові величини, ${\displaystyle \alpha _{j},\beta _{j}}$ — ненульові константи. Якщо лінійні форми ${\displaystyle L_{1}=\alpha _{1}\xi _{1}+\dots +\alpha _{n}\xi _{n}}$ та ${\displaystyle L_{2}=\beta _{1}\xi _{1}+\dots +\beta _{n}\xi _{n}}$ незалежні, то випадкові величини ${\displaystyle \xi _{j}}$ нормально розподілені (мають розподіли Ґаусса).

Історія

Теорема Скитовича-Дармуа є узагальненням теореми Каца-Бернштейна, в якій нормальний розподіл (розподіл Ґаусса) характеризується незалежністю суми та різниці двох незалежних випадкових величин. Про історію доведення теореми див. [1] [Архівовано 18 жовтня 2006 у Wayback Machine.]

Теорема Хейде є схожою теоремою, в якій одна з лінійних форм фіксується.

Література

• Скитович, В. П. (1953—89). Об одном свойстве нормального распределения. Доклады академии наук СССР. с. 217—219.
• Darmois, G. (1953). Analyse generale des liaisons stochastiques. Rev.Inst.Intern.Stat (21): 2—8.
• Каган, А. М.; Линник, Ю. В.; Рао, С. Р. (1972). Характеризационные задачи математической статистики. М.: Наука. с. 656.