Теорема Хейде

Теорема Хейде — характеризаційна теорема математичної статистики. Вона характеризує нормальний розподіл (розподіл Ґаусса) симетрією умовного розподілу однієї лінійної форми при фіксованій іншій. Ця теорема була доведена Хейде. В математичній статистиці є доведеною також теорема Скитовича — Дармуа, що має схожий міст, однак в ній лінійни форми випадкових величин є незалежні.

Формулювання

Нехай ${\displaystyle \xi _{j},j=1,2,\dots ,n,n\geq 2}$ — незалежні випадкові величини, ${\displaystyle \alpha _{j},\beta _{j}}$ — ненульові константи. Припустимо, що виконана умова: ${\displaystyle {\frac {\beta _{i}}{\alpha _{i}}}+{\frac {\beta _{j}}{\alpha _{j}}}\neq 0}$ для всіх ${\displaystyle i\neq j}$. Якщо умовний розподіл лінійної форми ${\displaystyle L_{2}=\beta _{1}\xi _{1}+\dots +\beta _{n}\xi _{n}}$ при фіксованій ${\displaystyle L_{1}=\alpha _{1}\xi _{1}+\dots +\alpha _{n}\xi _{n}}$ симетричний, то всі випадкові величини ${\displaystyle \xi _{j}}$ нормально розподілені (мають розподіли Ґаусса).

Література

• Heyde, C. C. (березень 1970). Characterization of the Normal Law by the Symmetry of a Certain Conditional Distribution. Sankhyā: The Indian Journal of Statistics, Series A. 32 (1): 115—118.
• Каган, А. М.; Линник, Ю. В.; Рао, С.Р. (1972). Характеризационные задачи математической статистики. М.: Наука. с. 656.