Теорема Севіча з теорії складності обчислень, доведена [en] у 1970 році, дає зв’язок між детермінованою та недетермінованою складністю простору .
У ньому зазначено, що для будь-якої функції ,
Іншими словами, якщо недетермінована машина Тюрінга може вирішити проблему, використовуючи пам'яті, детермінована машина Тюрінга може вирішити ту ж задачу за квадрат пам'яті. Хоча здається, що не детермінізм може призвести до експоненційного виграшу в часі, але ця теорема показує, що він має помітно більш обмежений вплив на вимоги до пам'яті.
Доведення
Доведення спирається на алгоритм для [en], задачі визначення того, чи існує шлях між двома вершинами в орієнтованому графі, який виконується в пам'яті для вершин. Основна ідея алгоритму полягає в тому, щоб рекурсивно розв’язати дещо більш загальну задачу, перевіряючи існування шляху від вершини s до іншої вершини t, яка використовує не більше k ребер, де k є параметром, який вводиться як вхідний параметр рекурсивного алгоритму. STCON можна вирішити з цієї проблеми, встановивши k на n . Щоб перевірити шлях k- краю від s до t, можна перевірити, чи кожна вершина u може бути серединою шляху s-t, шляхом рекурсивного пошуку шляхів половини довжини від s до u і u до t . Використовуючи псевдокод (у синтаксисі Python ), ми можемо виразити цей алгоритм таким чином:
def k_edge_path(s, t, k) -> bool: """k initially equals n (which is the number of vertices)""" if k == 0: return s == t if k == 1: return (s, t) in edges for u in vertices: if k_edge_path(s, u, floor(k / 2)) and k_edge_path(u, t, ceil(k / 2)): return True return False
Цей пошук викликає глибину рекурсії рівнів, кожен з яких вимагає біти для зберігання аргументів функції та локальних змін на цьому рівні: k і всі вершини ( s, t, u ) вимагають біти кожен. Таким чином, загальна складність допоміжного простору . Хоч описана вище програма написана мовою високого рівня, але той самий алгоритм може бути реалізований з тим самим асимптотичним простором, обмеженим на машині Тюрінга .
Щоб зрозуміти, чому цей алгоритм має на увазі теорему, розглянемо наступне. Для будь-якої мови , є машина Тюрінга який вирішує у просторі . Припустимо, що [en] алфавіт є двійковим (а саме ). Для будь-якого вхідного слова , існує орієнтований граф вершинами яких є конфігурації під час роботи на вході . Таких конфігурацій може бути нескінченно багато; наприклад, коли продовжує записувати символ на стрічці і рухати голову вправо в петлі до нескінченності. Потім конфігурації зростають довільно. Проте ми знаємо щонайбільше потрібен простір, щоб вирішити чи , тому ми піклуємося лише про конфігурації розміру ; назвемо будь-яку таку конфігурацію допустимою . Існує скінченна кількість допустимих конфігурацій; а саме . Отже, індукований підграф з містить (точно) допустимі конфігурації та має вершин. Для кожного входу , має шлях від початкової конфігурації до конфігурації, що приймає, тоді і тільки тоді, коли . Таким чином, вирішивши підключення в , ми можемо прийняти рішення про членство в . За наведеним вище алгоритмом це можна зробити детерміновано в просторі ; отже є в .
Оскільки це стосується всіх і все , отримуємо твердження теореми:
- Для всіх функцій , .
Наслідки
Деякі важливі наслідки теореми включають:
- PSPACE = NPSPACE
- Це прямо випливає з того факту, що квадрат поліноміальної функції все ще є поліноміальною функцією. Вважається, що подібного зв'язку між класами поліноміальної часової складності P і NP не існує, хоча це все ще залишається відкритим питанням .
- [en] ⊆ L 2
- STCON є NL-повним, тому всі мови в NL також належать до класу складності .
Див. також
Примітки
- Arora & Barak (2009) p.86
- Arora & Barak (2009) p.92
- Річард Дж. Ліптон, Теорема Севіча [ 8 квітня 2009 у Wayback Machine.] . Дає історичний звіт про те, як було виявлено доказ.
- (1993), Section 7.3: The Reachability Method, Computational Complexity (вид. 1st), Addison Wesley, с. 149—150, ISBN
- ; Barak, Boaz (2009), Computational complexity. A modern approach, Cambridge University Press, ISBN , Zbl 1193.68112
- (1970), Relationships between nondeterministic and deterministic tape complexities, Journal of Computer and System Sciences, 4 (2): 177—192, doi:10.1016/S0022-0000(70)80006-X
- (1997), Section 8.1: Savitch's Theorem, Introduction to the Theory of Computation, PWS Publishing, с. 279–281, ISBN
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Sevicha z teoriyi skladnosti obchislen dovedena en u 1970 roci daye zv yazok mizh determinovanoyu ta nedeterminovanoyu skladnistyu prostoru U nomu zaznacheno sho dlya bud yakoyi funkciyi f W log n displaystyle f in Omega log n N S P A C E f n D S P A C E f n 2 displaystyle mathsf NSPACE left f left n right right subseteq mathsf DSPACE left f left n right 2 right Inshimi slovami yaksho nedeterminovana mashina Tyuringa mozhe virishiti problemu vikoristovuyuchi f n displaystyle f n pam yati determinovana mashina Tyuringa mozhe virishiti tu zh zadachu za kvadrat pam yati Hocha zdayetsya sho ne determinizm mozhe prizvesti do eksponencijnogo vigrashu v chasi ale cya teorema pokazuye sho vin maye pomitno bilsh obmezhenij vpliv na vimogi do pam yati DovedennyaDovedennya spirayetsya na algoritm dlya en zadachi viznachennya togo chi isnuye shlyah mizh dvoma vershinami v oriyentovanomu grafi yakij vikonuyetsya v O log n 2 displaystyle O left log n 2 right pam yati dlya n displaystyle n vershin Osnovna ideya algoritmu polyagaye v tomu shob rekursivno rozv yazati desho bilsh zagalnu zadachu pereviryayuchi isnuvannya shlyahu vid vershini s do inshoyi vershini t yaka vikoristovuye ne bilshe k reber de k ye parametrom yakij vvoditsya yak vhidnij parametr rekursivnogo algoritmu STCON mozhna virishiti z ciyeyi problemi vstanovivshi k na n Shob pereviriti shlyah k krayu vid s do t mozhna pereviriti chi kozhna vershina u mozhe buti seredinoyu shlyahu s t shlyahom rekursivnogo poshuku shlyahiv polovini dovzhini vid s do u i u do t Vikoristovuyuchi psevdokod u sintaksisi Python mi mozhemo viraziti cej algoritm takim chinom def k edge path s t k gt bool k initially equals n which is the number of vertices if k 0 return s t if k 1 return s t in edges for u in vertices if k edge path s u floor k 2 and k edge path u t ceil k 2 return True return False Cej poshuk viklikaye glibinu rekursiyi O log n displaystyle O log n rivniv kozhen z yakih vimagaye O log n displaystyle O log n biti dlya zberigannya argumentiv funkciyi ta lokalnih zmin na comu rivni k i vsi vershini s t u vimagayut O log n displaystyle O log n biti kozhen Takim chinom zagalna skladnist dopomizhnogo prostoru O log n 2 displaystyle O left log n 2 right Hoch opisana vishe programa napisana movoyu visokogo rivnya ale toj samij algoritm mozhe buti realizovanij z tim samim asimptotichnim prostorom obmezhenim na mashini Tyuringa Shob zrozumiti chomu cej algoritm maye na uvazi teoremu rozglyanemo nastupne Dlya bud yakoyi movi L N S P A C E f n displaystyle L in mathsf NSPACE f n ye mashina Tyuringa M displaystyle M yakij virishuye L displaystyle L u prostori f n displaystyle f n Pripustimo sho en alfavit ye dvijkovim 0 1 displaystyle 0 1 a same L 0 1 displaystyle L subseteq 0 1 Dlya bud yakogo vhidnogo slova x 0 1 displaystyle x in 0 1 isnuye oriyentovanij graf G x M displaystyle G x M vershinami yakih ye konfiguraciyi M displaystyle M pid chas roboti na vhodi x displaystyle x Takih konfiguracij mozhe buti neskinchenno bagato napriklad koli M displaystyle M prodovzhuye zapisuvati simvol na strichci i ruhati golovu vpravo v petli do neskinchennosti Potim konfiguraciyi zrostayut dovilno Prote mi znayemo shonajbilshe f n displaystyle f left n right potriben prostir shob virishiti chi x L displaystyle x in L tomu mi pikluyemosya lishe pro konfiguraciyi rozmiru f n displaystyle f left n right nazvemo bud yaku taku konfiguraciyu dopustimoyu Isnuye skinchenna kilkist dopustimih konfiguracij a same 2 O f n displaystyle 2 O left f n right Otzhe indukovanij pidgraf G x M displaystyle G x M z G x M displaystyle G x M mistit tochno dopustimi konfiguraciyi ta maye 2 O f n displaystyle 2 O left f n right vershin Dlya kozhnogo vhodu x 0 1 n displaystyle x in 0 1 n G x M displaystyle G x M maye shlyah vid pochatkovoyi konfiguraciyi do konfiguraciyi sho prijmaye todi i tilki todi koli x L displaystyle x in L Takim chinom virishivshi pidklyuchennya v G x M displaystyle G x M mi mozhemo prijnyati rishennya pro chlenstvo x displaystyle x v L displaystyle L Za navedenim vishe algoritmom ce mozhna zrobiti determinovano v prostori O log 2 O f n 2 O f n 2 displaystyle O left left log 2 O left f n right right 2 right O left f left n right 2 right otzhe L displaystyle L ye v D S P A C E f n 2 displaystyle mathsf DSPACE left f left n right 2 right Oskilki ce stosuyetsya vsih f W log n displaystyle f in Omega log n i vse L N S P A C E f n displaystyle L in mathsf NSPACE left f left n right right otrimuyemo tverdzhennya teoremi Dlya vsih funkcij f W log n displaystyle f in Omega log n N S P A C E f n D S P A C E f n 2 displaystyle mathsf NSPACE left f left n right right subseteq mathsf DSPACE left f left n right 2 right NaslidkiDeyaki vazhlivi naslidki teoremi vklyuchayut PSPACE NPSPACE Ce pryamo viplivaye z togo faktu sho kvadrat polinomialnoyi funkciyi vse she ye polinomialnoyu funkciyeyu Vvazhayetsya sho podibnogo zv yazku mizh klasami polinomialnoyi chasovoyi skladnosti P i NP ne isnuye hocha ce vse she zalishayetsya vidkritim pitannyam en L 2 STCON ye NL povnim tomu vsi movi v NL takozh nalezhat do klasu skladnosti L 2 D S P A C E log n 2 displaystyle mathsf color Blue L 2 mathsf DSPACE left left log n right 2 right Div takozhTeorema Pifagora Teorema Koshi teoriya grup Klas skladnosti PSPACEPrimitkiArora amp Barak 2009 p 86 Arora amp Barak 2009 p 92 Richard Dzh Lipton Teorema Sevicha 8 kvitnya 2009 u Wayback Machine Daye istorichnij zvit pro te yak bulo viyavleno dokaz 1993 Section 7 3 The Reachability Method Computational Complexity vid 1st Addison Wesley s 149 150 ISBN 0 201 53082 1 Barak Boaz 2009 Computational complexity A modern approach Cambridge University Press ISBN 978 0 521 42426 4 Zbl 1193 68112 1970 Relationships between nondeterministic and deterministic tape complexities Journal of Computer and System Sciences 4 2 177 192 doi 10 1016 S0022 0000 70 80006 X 1997 Section 8 1 Savitch s Theorem Introduction to the Theory of Computation PWS Publishing s 279 281 ISBN 0 534 94728 X