Теорема Помпею

Теорема Помпе́ю — теорема в планіметрії, відкрита румунським математиком .

Теорема стверджує, що:

Для довільного рівностороннього трикутника ${\displaystyle \ ABC}$ та довільної точки ${\displaystyle \ P}$ в його площині відрізки ${\displaystyle \ PA}$, ${\displaystyle \ PB}$ та ${\displaystyle \ PC}$ є сторонами трикутника (можливо, виродженого).

Доведення

Розглянемо поворот на 60° навколо точки C. Припустимо, що A переходить у B, а P переходить у P '. Тоді маємо ${\displaystyle \scriptstyle PC\ =\ P'C}$, ${\displaystyle \scriptstyle \angle PCP'\ =\ 60^{\circ }}$. Звідси трикутник PCP ' рівносторонній, тому ${\displaystyle \scriptstyle PP'\ =\ PC}$. З рівності трикутників очевидно, що ${\displaystyle \scriptstyle PA\ =\ P'B}$. Тому трикутник PBP ' має сторони, рівні PA, PB, PC, що й завершує доведення теореми.

Додатково, якщо P знаходиться на описаному колі трикутника, то PA, PB і PC утворюють вироджений трикутник.

Також теорема є прямим наслідком нерівності Птолемея.

Посилання

• Теорема Помпею на MathWorld [ 11 листопада 2012 у Wayback Machine.] (англ.)