Теорема Марцинкевича

Теорема Марцинкевича — твердження в теорії ймовірностей.

Нехай ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ — послідовність комплексних чисел, яка не має скінченної граничної точки. Показником збіжності послідовності ${\displaystyle \{a_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ називається точна нижня межа тих чисел ${\displaystyle \lambda >0}$, для яких збігається ряд

${\displaystyle \sum _{a_{k}\neq 0}|a_{k}|^{-\lambda }}$

(якщо цей ряд розбігається при будь-якому ${\displaystyle \lambda >0}$, показником збіжності вважають ${\displaystyle \infty }$). Відомо, що показник збіжності коренів цілої функції не перевищує порядок цілої функції.

Формулювання теореми

Нехай ${\displaystyle \varphi (t)}$ — характеристична функція. Припустимо, що ${\displaystyle \varphi (t)}$ — ціла функція скінченного порядку ${\displaystyle \rho }$, показник збіжності послідовності коренів якої дорівнює ${\displaystyle \rho _{1}}$. Якщо ${\displaystyle \rho _{1}<\rho }$, то ${\displaystyle \rho \leq 2.}$

Наслідок

Нехай ${\displaystyle \varphi (t)}$ — характеристична функція виду

${\displaystyle \varphi (t)=e^{P(t)},}$

де ${\displaystyle P(t)}$ — многочлен. Тоді ${\displaystyle P(t)=ist-\sigma t^{2},}$ де ${\displaystyle s\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle \sigma \geq 0,}$ тобто ${\displaystyle \varphi (t)}$ — характеристична функція нормального розподілу, можливо виродженого.

Іноді саме цей наслідок і називають теоремою Марцинкевича. Теорема Марцинкевича часто використовується при характеризації нормального розподілу.

Література

• J. Marcinkiewicz. Sur une propriéte de la loi de Gauss. Math. Zeitschr. 44, (1938), 612—618.
• Линник Ю. В., Островский И. В. Разложения случайных величин и векторов. — М.: Наука, 1972.

[