Статистична сума

Статисти́чна су́ма — функція параметрів статистичного ансамблю, яка несе в собі повну інформацію про термодинамічну систему.

Позначається здебільшого літерою Z і є безрозмірною величиною.

Визначення

Квантова статистика

Якщо фізична система, яка складається з N часток, характеризується набором мікроскопічних станів ${\displaystyle \{|n\rangle \}}$ з енергіями ${\displaystyle E_{n}}$, то статистична сума визначається формулою

${\displaystyle Z(N,V,T)=\sum _{n}e^{-E_{n}/k_{B}T}}$.

де T — температура, k_B — стала Больцмана, V — об'єм.

Статистична сума залежить від температури, об'єму, числа часток і, в загальному випадку інших екстенсивних параметрів фізичної системи, наприклад, напруженості електричного поля, якщо система знаходиться у зовнішньому полі.

Класична статистика

У класичній механіці мікроскопічний стан системи задається неперервними величинами — координатами ${\displaystyle q_{i}}$ та імпульсами ${\displaystyle p_{i}}$ часток. У цьому випадку підсумовування заміняється інтегралом. Безрозмірність статистичної суми досягається діленням на ${\displaystyle 2\pi \hbar }$ для кожного ступеня вільності.

${\displaystyle Z={\frac {1}{N!}}{\frac {1}{(2\pi \hbar )^{s}}}\int e^{-H(q_{i},p_{i})/k_{B}T}dq_{i}dp_{i}}$,

де s — число ступенів вільності, ${\displaystyle H(q_{i},p_{i})}$ — функція Гамільтона, тобто енергія системи, виражена через узагальнені координати. Інтегрування проводиться по всьому фазовому просторі.

Множник ${\displaystyle 1/N!}$ з'являється завдяки принципу нерозрізнюваності часток, дозволяючи уникнути парадоксу Гібса.

Вільна енергія Гельмгольца

Вільна енергія Гельмгольца визначається через статистичну суму за формулою

${\displaystyle F(N,V,T)=-k_{B}T{\text{ln}}\,Z}$.

Оскільки всі параметри термодинамічної системи можна визначити через похідні від вільної енергії, то знання статистичної суми повністю визначає термодинамічний стан.

Ймовірність реалізації мікроскопічного стану ${\displaystyle |n\rangle }$ задається розподілом Гібса

${\displaystyle w_{n}={\frac {1}{Z}}e^{-E_{n}/k_{B}T}}$.

Статистична сума при змінному числі часток

Термодинамічні системи, які можуть обмінюватися частками із середовищем, у статистичній фізиці описуються великим канонічним ансамблем. Для нього статистична сума залежить від ще однієї змінної — хімічного потенціалу.

${\displaystyle Z(V,T,\mu )=\sum _{N}\sum _{n}e^{-(E_{n}-\mu N)/k_{B}T}}$.

У класичній фізиці

${\displaystyle Z(V,T,\mu )=\sum _{N}{\frac {1}{N!}}{\frac {1}{(2\pi \hbar )^{s}}}\int e^{-(H(q_{i},p_{i})-\mu N)/k_{B}T}dq_{i}dp_{i}}$.

Визначена таким чином функція отримала назву велика статистична сума.

Приклади

Джерела

• Федорченко А.М. (1993). Теоретична фізика. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика. Т.2. Київ: Вища школа., 415 с.
• Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. (1976). Теоретическая физика. т. V. Статистическая физика. Часть 1. Москва: Наука.
• Залевски К. (1973). Феноменологическая и статистическая термодинамика. Москва: Мир.