Стала Ердеша — Борвейна — математична стала, що дорівнює сумі обернених величин чисел Мерсенна. Названа за іменами Пала Ердеша і [en], які з'ясували її ключові властивості.
Стала Ердеша — Борвейна | |
Названо на честь | Пал Ердеш і d |
---|---|
Позначення величини | E |
Числове значення | 1,606695152415 |
Формула | |
Підтримується Вікіпроєктом |
За визначенням стала дорівнює:
- ,
що приблизно становить 1, 606 695 152 415 291 763 783 301 523 190 924 580 480 579 671 505 756 435 778 079 553 691 418 420 743 486 690 565 711 801 670 155 576….
Еквівалентні форми
Можна показати, що такі суми дають ту саму сталу:
- ,
- ,
- ,
- ,
де — мультиплікативна функція дільників, рівна числу додатних дільників числа . Для доведення еквівалентності цих формул використовується той факт, що всі вони представляють .
Ірраціональність
Ердеш показав, що стала є ірраціональним числом. Пізніше Борвейн надав альтернативне доведення.
Попри ірраціональність, двійкове подання сталої ефективно обчислюється: Кнут у виданні «Мистецтва програмування» 1998 року зауважив, що обчислення можна здійснити з використанням ряду Клаузена, який збігається дуже швидко.
Застосування
Стала Ердеша — Борвейна виникає під час аналізу поведінки алгоритму пірамідального сортування.
Примітки
- послідовність A065442 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS
- Першу з цих формул надав Кнут 1998 року; він при цьому посилається на роботу 1828 року [ru].
- Erdős, Pal (1948), On arithmetical properties of Lambert series (PDF), J. Indian Math. Soc. (N.S.), 12: 63—66, MR 0029405
- (1992), On the irrationality of certain series, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 112 (1): 141—146, doi:10.1017/S030500410007081X, MR 1162938
- (2012), The googol-th bit of the Erdős–Borwein constant, Integers, 12: A23, doi:10.1515/integers-2012-0007
- (1998), The Art of Computer Programming, Vol. 3: Sorting and Searching (вид. 2nd), Reading, MA: Addison-Wesley, с. 153—155.
Література
- Weisstein, Eric W. Erdos-Borwein Constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Stala Erdesha Borvejna matematichna stala sho dorivnyuye sumi obernenih velichin chisel Mersenna Nazvana za imenami Pala Erdesha i en yaki z yasuvali yiyi klyuchovi vlastivosti Stala Erdesha Borvejna Nazvano na chestPal Erdesh i d Poznachennya velichiniE Chislove znachennya1 606695152415 FormulaE B n 1 1 2 n 1 displaystyle E B sum n 1 infty frac 1 2 n 1 Pidtrimuyetsya VikiproyektomVikipediya Proyekt Matematika Za viznachennyam stala dorivnyuye E n 1 1 2 n 1 displaystyle E sum n 1 infty frac 1 2 n 1 sho priblizno stanovit 1 606 695 152 415 291 763 783 301 523 190 924 580 480 579 671 505 756 435 778 079 553 691 418 420 743 486 690 565 711 801 670 155 576 Ekvivalentni formiMozhna pokazati sho taki sumi dayut tu samu stalu E n 1 1 2 n 2 2 n 1 2 n 1 displaystyle E sum n 1 infty frac 1 2 n 2 frac 2 n 1 2 n 1 E m 1 n 1 1 2 m n displaystyle E sum m 1 infty sum n 1 infty frac 1 2 mn E 1 n 1 1 2 n 2 n 1 displaystyle E 1 sum n 1 infty frac 1 2 n 2 n 1 E n 1 s 0 n 2 n displaystyle E sum n 1 infty frac sigma 0 n 2 n de s 0 n d n displaystyle sigma 0 n d n multiplikativna funkciya dilnikiv rivna chislu dodatnih dilnikiv chisla n displaystyle n Dlya dovedennya ekvivalentnosti cih formul vikoristovuyetsya toj fakt sho vsi voni predstavlyayut IrracionalnistErdesh pokazav sho stala ye irracionalnim chislom Piznishe Borvejn nadav alternativne dovedennya Popri irracionalnist dvijkove podannya staloyi efektivno obchislyuyetsya Knut u vidanni Mistectva programuvannya 1998 roku zauvazhiv sho obchislennya mozhna zdijsniti z vikoristannyam ryadu Klauzena yakij zbigayetsya duzhe shvidko ZastosuvannyaStala Erdesha Borvejna vinikaye pid chas analizu povedinki algoritmu piramidalnogo sortuvannya Primitkiposlidovnist A065442 z Onlajn enciklopediyi poslidovnostej cilih chisel OEIS Pershu z cih formul nadav Knut 1998 roku vin pri comu posilayetsya na robotu 1828 roku ru Erdos Pal 1948 On arithmetical properties of Lambert series PDF J Indian Math Soc N S 12 63 66 MR 0029405 1992 On the irrationality of certain series Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society 112 1 141 146 doi 10 1017 S030500410007081X MR 1162938 2012 The googol th bit of the Erdos Borwein constant Integers 12 A23 doi 10 1515 integers 2012 0007 1998 The Art of Computer Programming Vol 3 Sorting and Searching vid 2nd Reading MA Addison Wesley s 153 155 LiteraturaWeisstein Eric W Erdos Borwein Constant angl na sajti Wolfram MathWorld