Дана стаття містить перелік ортонормованих сферичних гармонік записаних у фазі Кондона Шортлі до порядку ℓ 10 displaysty

Дана стаття містить перелік ортонормованих сферичних гармонік, записаних у фазі Кондона-Шортлі до порядку $\ell =10$ (дана фаза впливає на знак «+» чи «-» у виразі для сферичної гармоніки). Формули наводяться як у в сферичній системі координат $r,\varphi ,\theta$ так і в декартових координатах $x,y,z$ , та $r$ , де $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$ . Використовується наступний зв'язок між компонентами $\theta$ і $\varphi$ сферичної системи координат та декартовими координатами:

Візуальне представлення перших декількох дійсних сферичних гармонік. Голубий колір відповідає області, де функції додатні, а жовтий -- де від'ємні. Відстань від початку координат відповідає абсолютній величні гармоніки $Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )$ у напрямку $(\theta ,\varphi )$ .

{\begin{cases}\cos(\theta )&=z/r\\e^{\pm i\varphi }\cdot \sin(\theta )&=(x\pm iy)/r\end{cases}}

Сферичні гармоніки представляють собою власні коливання тривимірного сферичного об'єму (кулі).

Комплекснозначні сферичні гармоніки

Для $l=0,1,\ldots ,5$ див. також

ℓ = 0

Y_{0}^{0}(\theta ,\varphi )={1 \over 2}{\sqrt {1 \over \pi }}

ℓ = 1

{\begin{aligned}Y_{1}^{-1}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta &&=&&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot {(x-iy) \over r}\\Y_{1}^{0}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\cdot \cos \theta &&=&&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over \pi }}\cdot {z \over r}\\Y_{1}^{1}(\theta ,\varphi )&=&-&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta &&=&-&{1 \over 2}{\sqrt {3 \over 2\pi }}\cdot {(x+iy) \over r}\end{aligned}}

ℓ = 2

{\begin{aligned}Y_{2}^{-2}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot {(x-iy)^{2} \over r^{2}}&\\Y_{2}^{-1}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta \quad &&=&&{1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot {(x-iy)\cdot z \over r^{2}}&\\Y_{2}^{0}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot (3\cos ^{2}\theta -1)\quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot {(3z^{2}-r^{2}) \over r^{2}}&\\Y_{2}^{1}(\theta ,\varphi )&=&-&{1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot \cos \theta \quad &&=&-&{1 \over 2}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot {(x+iy)\cdot z \over r^{2}}&\\Y_{2}^{2}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {15 \over 2\pi }}\cdot {(x+iy)^{2} \over r^{2}}&\\{}\end{aligned}}

ℓ = 3

{\begin{aligned}Y_{3}^{-3}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \quad &&=&&{1 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot {(x-iy)^{3} \over r^{3}}&\\Y_{3}^{-2}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot \cos \theta \quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot {(x-iy)^{2}\cdot z \over r^{3}}&\\Y_{3}^{-1}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 8}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (5\cos ^{2}\theta -1)\quad &&=&&{1 \over 8}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot {(x-iy)\cdot (5z^{2}-r^{2}) \over r^{3}}&\\Y_{3}^{0}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {7 \over \pi }}\cdot (5\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {7 \over \pi }}\cdot {(5z^{3}-3zr^{2}) \over r^{3}}&\\Y_{3}^{1}(\theta ,\varphi )&=&-&{1 \over 8}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (5\cos ^{2}\theta -1)\quad &&=&&{-1 \over 8}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot {(x+iy)\cdot (5z^{2}-r^{2}) \over r^{3}}&\\Y_{3}^{2}(\theta ,\varphi )&=&&{1 \over 4}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot \cos \theta \quad &&=&&{1 \over 4}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot {(x+iy)^{2}\cdot z \over r^{3}}&\\Y_{3}^{3}(\theta ,\varphi )&=&-&{1 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \quad &&=&&{-1 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot {(x+iy)^{3} \over r^{3}}&\end{aligned}}

ℓ = 4

{\begin{aligned}Y_{4}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {35 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta ={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi }}}\cdot {\frac {(x-iy)^{4}}{r^{4}}}\\Y_{4}^{-3}(\theta ,\varphi )&={3 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot \cos \theta ={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {35}{\pi }}}\cdot {\frac {(x-iy)^{3}z}{r^{4}}}\\Y_{4}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 8}{\sqrt {5 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (7\cos ^{2}\theta -1)={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{2\pi }}}\cdot {\frac {(x-iy)^{2}\cdot (7z^{2}-r^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{-1}(\theta ,\varphi )&={3 \over 8}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\cdot {\frac {(x-iy)\cdot (7z^{3}-3zr^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{0}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {1 \over \pi }}\cdot (35\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +3)={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {1}{\pi }}}\cdot {\frac {(35z^{4}-30z^{2}r^{2}+3r^{4})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{1}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 8}{\sqrt {5 \over \pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (7\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )={\frac {-3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{\pi }}}\cdot {\frac {(x+iy)\cdot (7z^{3}-3zr^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 8}{\sqrt {5 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (7\cos ^{2}\theta -1)={\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {5}{2\pi }}}\cdot {\frac {(x+iy)^{2}\cdot (7z^{2}-r^{2})}{r^{4}}}\\Y_{4}^{3}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 8}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot \cos \theta ={\frac {-3}{8}}{\sqrt {\frac {35}{\pi }}}\cdot {\frac {(x+iy)^{3}z}{r^{4}}}\\Y_{4}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {35 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta ={\frac {3}{16}}{\sqrt {\frac {35}{2\pi }}}\cdot {\frac {(x+iy)^{4}}{r^{4}}}\end{aligned}}

ℓ = 5

{\begin{aligned}Y_{5}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {77 \over \pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \\Y_{5}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{5}^{-3}(\theta ,\varphi )&={1 \over 32}{\sqrt {385 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (9\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{5}^{-2}(\theta ,\varphi )&={1 \over 8}{\sqrt {1155 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (3\cos ^{3}\theta -\cos \theta )\\Y_{5}^{-1}(\theta ,\varphi )&={1 \over 16}{\sqrt {165 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (21\cos ^{4}\theta -14\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{5}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 16}{\sqrt {11 \over \pi }}\cdot (63\cos ^{5}\theta -70\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{5}^{1}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 16}{\sqrt {165 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (21\cos ^{4}\theta -14\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{5}^{2}(\theta ,\varphi )&={1 \over 8}{\sqrt {1155 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (3\cos ^{3}\theta -\cos \theta )\\Y_{5}^{3}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 32}{\sqrt {385 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (9\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{5}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 16}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{5}^{5}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 32}{\sqrt {77 \over \pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \end{aligned}}

ℓ = 6

{\begin{aligned}Y_{6}^{-6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {3003 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \\Y_{6}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {1001 \over \pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{6}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {91 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (11\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{6}^{-3}(\theta ,\varphi )&={1 \over 32}{\sqrt {1365 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (11\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{6}^{-2}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {1365 \over \pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (33\cos ^{4}\theta -18\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{6}^{-1}(\theta ,\varphi )&={1 \over 16}{\sqrt {273 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (33\cos ^{5}\theta -30\cos ^{3}\theta +5\cos \theta )\\Y_{6}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 32}{\sqrt {13 \over \pi }}\cdot (231\cos ^{6}\theta -315\cos ^{4}\theta +105\cos ^{2}\theta -5)\\Y_{6}^{1}(\theta ,\varphi )&=-{1 \over 16}{\sqrt {273 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (33\cos ^{5}\theta -30\cos ^{3}\theta +5\cos \theta )\\Y_{6}^{2}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {1365 \over \pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (33\cos ^{4}\theta -18\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{6}^{3}(\theta ,\varphi )&=-{1 \over 32}{\sqrt {1365 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (11\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{6}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {91 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (11\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{6}^{5}(\theta ,\varphi )&=-{3 \over 32}{\sqrt {1001 \over \pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{6}^{6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {3003 \over \pi }}\cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \end{aligned}}

ℓ = 7

{\begin{aligned}Y_{7}^{-7}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {715 \over 2\pi }}\cdot e^{-7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \\Y_{7}^{-6}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{7}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (13\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{7}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (13\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{7}^{-3}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {35 \over 2\pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (143\cos ^{4}\theta -66\cos ^{2}\theta +3)\\Y_{7}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (143\cos ^{5}\theta -110\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{7}^{-1}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (429\cos ^{6}\theta -495\cos ^{4}\theta +135\cos ^{2}\theta -5)\\Y_{7}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 32}{\sqrt {15 \over \pi }}\cdot (429\cos ^{7}\theta -693\cos ^{5}\theta +315\cos ^{3}\theta -35\cos \theta )\\Y_{7}^{1}(\theta ,\varphi )&=-{1 \over 64}{\sqrt {105 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (429\cos ^{6}\theta -495\cos ^{4}\theta +135\cos ^{2}\theta -5)\\Y_{7}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {35 \over \pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (143\cos ^{5}\theta -110\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{7}^{3}(\theta ,\varphi )&=-{3 \over 64}{\sqrt {35 \over 2\pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (143\cos ^{4}\theta -66\cos ^{2}\theta +3)\\Y_{7}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 32}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (13\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{7}^{5}(\theta ,\varphi )&=-{3 \over 64}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (13\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{7}^{6}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{7}^{7}(\theta ,\varphi )&=-{3 \over 64}{\sqrt {715 \over 2\pi }}\cdot e^{7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \end{aligned}}

ℓ = 8

{\begin{aligned}Y_{8}^{-8}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {12155 \over 2\pi }}\cdot e^{-8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \\Y_{8}^{-7}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {12155 \over 2\pi }}\cdot e^{-7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{8}^{-6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 128}{\sqrt {7293 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (15\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{8}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {17017 \over 2\pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (5\cos ^{3}\theta -\cos \theta )\\Y_{8}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {1309 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (65\cos ^{4}\theta -26\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{8}^{-3}(\theta ,\varphi )&={1 \over 64}{\sqrt {19635 \over 2\pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (39\cos ^{5}\theta -26\cos ^{3}\theta +3\cos \theta )\\Y_{8}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {595 \over \pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (143\cos ^{6}\theta -143\cos ^{4}\theta +33\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{8}^{-1}(\theta ,\varphi )&={3 \over 64}{\sqrt {17 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (715\cos ^{7}\theta -1001\cos ^{5}\theta +385\cos ^{3}\theta -35\cos \theta )\\Y_{8}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 256}{\sqrt {17 \over \pi }}\cdot (6435\cos ^{8}\theta -12012\cos ^{6}\theta +6930\cos ^{4}\theta -1260\cos ^{2}\theta +35)\\Y_{8}^{1}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 64}{\sqrt {17 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (715\cos ^{7}\theta -1001\cos ^{5}\theta +385\cos ^{3}\theta -35\cos \theta )\\Y_{8}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {595 \over \pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (143\cos ^{6}\theta -143\cos ^{4}\theta +33\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{8}^{3}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 64}{\sqrt {19635 \over 2\pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (39\cos ^{5}\theta -26\cos ^{3}\theta +3\cos \theta )\\Y_{8}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {1309 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (65\cos ^{4}\theta -26\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{8}^{5}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 64}{\sqrt {17017 \over 2\pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (5\cos ^{3}\theta -\cos \theta )\\Y_{8}^{6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 128}{\sqrt {7293 \over \pi }}\cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (15\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{8}^{7}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 64}{\sqrt {12155 \over 2\pi }}\cdot e^{7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{8}^{8}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {12155 \over 2\pi }}\cdot e^{8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \end{aligned}}

ℓ = 9

{\begin{aligned}Y_{9}^{-9}(\theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {230945 \over \pi }}\cdot e^{-9i\varphi }\cdot \sin ^{9}\theta \\Y_{9}^{-8}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {230945 \over 2\pi }}\cdot e^{-8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{9}^{-7}(\theta ,\varphi )&={3 \over 512}{\sqrt {13585 \over \pi }}\cdot e^{-7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot (17\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{9}^{-6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 128}{\sqrt {40755 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (17\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{9}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {2717 \over \pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (85\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{9}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {95095 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (17\cos ^{5}\theta -10\cos ^{3}\theta +\cos \theta )\\Y_{9}^{-3}(\theta ,\varphi )&={1 \over 256}{\sqrt {21945 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (221\cos ^{6}\theta -195\cos ^{4}\theta +39\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{9}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {1045 \over \pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (221\cos ^{7}\theta -273\cos ^{5}\theta +91\cos ^{3}\theta -7\cos \theta )\\Y_{9}^{-1}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {95 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (2431\cos ^{8}\theta -4004\cos ^{6}\theta +2002\cos ^{4}\theta -308\cos ^{2}\theta +7)\\Y_{9}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 256}{\sqrt {19 \over \pi }}\cdot (12155\cos ^{9}\theta -25740\cos ^{7}\theta +18018\cos ^{5}\theta -4620\cos ^{3}\theta +315\cos \theta )\\Y_{9}^{1}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 256}{\sqrt {95 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (2431\cos ^{8}\theta -4004\cos ^{6}\theta +2002\cos ^{4}\theta -308\cos ^{2}\theta +7)\\Y_{9}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {1045 \over \pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (221\cos ^{7}\theta -273\cos ^{5}\theta +91\cos ^{3}\theta -7\cos \theta )\\Y_{9}^{3}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 256}{\sqrt {21945 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (221\cos ^{6}\theta -195\cos ^{4}\theta +39\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{9}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 128}{\sqrt {95095 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (17\cos ^{5}\theta -10\cos ^{3}\theta +\cos \theta )\\Y_{9}^{5}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 256}{\sqrt {2717 \over \pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (85\cos ^{4}\theta -30\cos ^{2}\theta +1)\\Y_{9}^{6}(\theta ,\varphi )&={1 \over 128}{\sqrt {40755 \over \pi }}\cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (17\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{9}^{7}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 512}{\sqrt {13585 \over \pi }}\cdot e^{7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot (17\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{9}^{8}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {230945 \over 2\pi }}\cdot e^{8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{9}^{9}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 512}{\sqrt {230945 \over \pi }}\cdot e^{9i\varphi }\cdot \sin ^{9}\theta \end{aligned}}

ℓ = 10

{\begin{aligned}Y_{10}^{-10}(\theta ,\varphi )&={1 \over 1024}{\sqrt {969969 \over \pi }}\cdot e^{-10i\varphi }\cdot \sin ^{10}\theta \\Y_{10}^{-9}(\theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {4849845 \over \pi }}\cdot e^{-9i\varphi }\cdot \sin ^{9}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{10}^{-8}(\theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {255255 \over 2\pi }}\cdot e^{-8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \cdot (19\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{10}^{-7}(\theta ,\varphi )&={3 \over 512}{\sqrt {85085 \over \pi }}\cdot e^{-7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot (19\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{10}^{-6}(\theta ,\varphi )&={3 \over 1024}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{-6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (323\cos ^{4}\theta -102\cos ^{2}\theta +3)\\Y_{10}^{-5}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {1001 \over \pi }}\cdot e^{-5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (323\cos ^{5}\theta -170\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{10}^{-4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {5005 \over 2\pi }}\cdot e^{-4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (323\cos ^{6}\theta -255\cos ^{4}\theta +45\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{10}^{-3}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{-3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (323\cos ^{7}\theta -357\cos ^{5}\theta +105\cos ^{3}\theta -7\cos \theta )\\Y_{10}^{-2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 512}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{-2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (4199\cos ^{8}\theta -6188\cos ^{6}\theta +2730\cos ^{4}\theta -364\cos ^{2}\theta +7)\\Y_{10}^{-1}(\theta ,\varphi )&={1 \over 256}{\sqrt {1155 \over 2\pi }}\cdot e^{-i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (4199\cos ^{9}\theta -7956\cos ^{7}\theta +4914\cos ^{5}\theta -1092\cos ^{3}\theta +63\cos \theta )\\Y_{10}^{0}(\theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {21 \over \pi }}\cdot (46189\cos ^{10}\theta -109395\cos ^{8}\theta +90090\cos ^{6}\theta -30030\cos ^{4}\theta +3465\cos ^{2}\theta -63)\\Y_{10}^{1}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 256}{\sqrt {1155 \over 2\pi }}\cdot e^{i\varphi }\cdot \sin \theta \cdot (4199\cos ^{9}\theta -7956\cos ^{7}\theta +4914\cos ^{5}\theta -1092\cos ^{3}\theta +63\cos \theta )\\Y_{10}^{2}(\theta ,\varphi )&={3 \over 512}{\sqrt {385 \over 2\pi }}\cdot e^{2i\varphi }\cdot \sin ^{2}\theta \cdot (4199\cos ^{8}\theta -6188\cos ^{6}\theta +2730\cos ^{4}\theta -364\cos ^{2}\theta +7)\\Y_{10}^{3}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 256}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{3i\varphi }\cdot \sin ^{3}\theta \cdot (323\cos ^{7}\theta -357\cos ^{5}\theta +105\cos ^{3}\theta -7\cos \theta )\\Y_{10}^{4}(\theta ,\varphi )&={3 \over 256}{\sqrt {5005 \over 2\pi }}\cdot e^{4i\varphi }\cdot \sin ^{4}\theta \cdot (323\cos ^{6}\theta -255\cos ^{4}\theta +45\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{10}^{5}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 256}{\sqrt {1001 \over \pi }}\cdot e^{5i\varphi }\cdot \sin ^{5}\theta \cdot (323\cos ^{5}\theta -170\cos ^{3}\theta +15\cos \theta )\\Y_{10}^{6}(\theta ,\varphi )&={3 \over 1024}{\sqrt {5005 \over \pi }}\cdot e^{6i\varphi }\cdot \sin ^{6}\theta \cdot (323\cos ^{4}\theta -102\cos ^{2}\theta +3)\\Y_{10}^{7}(\theta ,\varphi )&={-3 \over 512}{\sqrt {85085 \over \pi }}\cdot e^{7i\varphi }\cdot \sin ^{7}\theta \cdot (19\cos ^{3}\theta -3\cos \theta )\\Y_{10}^{8}(\theta ,\varphi )&={1 \over 512}{\sqrt {255255 \over 2\pi }}\cdot e^{8i\varphi }\cdot \sin ^{8}\theta \cdot (19\cos ^{2}\theta -1)\\Y_{10}^{9}(\theta ,\varphi )&={-1 \over 512}{\sqrt {4849845 \over \pi }}\cdot e^{9i\varphi }\cdot \sin ^{9}\theta \cdot \cos \theta \\Y_{10}^{10}(\theta ,\varphi )&={1 \over 1024}{\sqrt {969969 \over \pi }}\cdot e^{10i\varphi }\cdot \sin ^{10}\theta \end{aligned}}

Візуалізація комплекснозначних сферичних гармонік

2D карти полярних/азимутальних кутів

Нижче комплекснозначні сферичні гармоніки представлені на 2D графіках з азимутальним кутом, $\varphi$ , по горизонтальній осі та полярним кутом, $\theta$ , відкладеним по вертикальній осі. Насиченість кольору в будь-якій точці відповідає амплітуді сферичної гармоніки, а сам колір представляє собою фазу.

Набір зображень комплекснозначних сферичних гармонік, представлених у вигляді двовимірних карт по $\theta ,\varphi$

На сфері

Нижче комплексні сферичні гармоніки представлені у вигляді двовимірної карти на сфері. Величина сферичної гармоніки при певних полярних і азимутальних кутах представлена насиченістю кольору в цій точці, а фаза представлена кольором у цій точці.

Графіки на сфері з амплітудою гармоніки як відстанню від центру сфери

Нижче на графіках амплітуді сферичної гармоніки під конкретним полярним і азимутальним кутами відповідає відстань від центру умовної сфери (радіус), а фазі гармоніки відповідає колір у цій точці.