Скалярний добуток векторів

Скаля́рний добу́ток (англ. dot product, scalar product) — бінарна операція над векторами, результатом якої є скаляр.

Скалярний добуток
Формула	${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}=\sum _{i}a_{i}b_{i}}$^[1]
Позначення у формулі	${\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}}$, ${\displaystyle a_{i}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {a}}}$, ${\displaystyle {\boldsymbol {b}}}$ і ${\displaystyle b_{i}}$
Підтримується Вікіпроєктом
Скалярний добуток у Вікісховищі

Скалярний добуток геометричних векторів ${\displaystyle {\vec {x}}}$ та ${\displaystyle {\vec {y}}}$ обчислюється за формулою:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}|\,|{\vec {y}}|\,\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)}$

де ${\displaystyle |{\vec {x}}|}$ та ${\displaystyle |{\vec {y}}|}$ є довжинами векторів, а ${\displaystyle \cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)}$ дорівнює косинусу кута між цими векторами. Як і у випадку звичайного множення, знак множення можна не писати: ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}={\vec {x}}{\vec {y}}}$.

Два означення добутку векторів:

• Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
• Скалярним добутком двох векторів називають число, рівне добутку довжини одного з цих векторів на проєкцію іншого вектора на вісь, обумовлену першим з вказаних векторів (добуток довжини ${\displaystyle {\vec {x}}}$ на довжину проєкції ${\displaystyle {\vec {y}}}$ на ${\displaystyle {\vec {x}}}$).

В лінійній алгебрі поняття скалярного добутку узагальнено. Так, скалярним добутком називають функцію, що зіставляє парі елементів векторного простору елемент з поля, над яким побудований векторний простір. Скалярний добуток двох векторів ${\displaystyle x}$ та ${\displaystyle y}$ позначають як ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$. Можлива і скорочена форма запису: ${\displaystyle xy}$. Також можливе позначення ${\displaystyle x^{T}y}$, що підкреслює зв'язок з множенням матриць.

Взагалі кажучи, для векторного простору існують різні варіанти скалярного добутку. Простір із визначеним скалярним добутком позначають як передгільбертів простір.

Визначення в евклідовому просторі

Докладніше: Евклідів простір

В лінійній алгебрі скалярний добуток двох векторів

${\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}$    і   ${\displaystyle {\vec {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\\vdots \\y_{n}\end{pmatrix}}}$

в ортонормованому базисі ${\displaystyle n}$-вимірного евклідового простору дорівнює сумі добутків координат векторів:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}:=\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}={x_{1}}{y_{1}}+{x_{2}}{y_{2}}+\dotsb +{x_{n}}{y_{n}}}$.

В загальному випадку:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}:=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}g_{ij}y_{j}={x_{1}}{y_{1}}+{x_{2}}{y_{2}}+\dotsb +{x_{n}}{y_{n}}}$, де ${\displaystyle g}$ — елемент Матриці Грама

Наприклад, в тривимірному евклідовому просторі, скалярний добуток двох векторів обчислюється так:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-7\\8\\9\end{pmatrix}}=1\cdot (-7)+2\cdot 8+3\cdot 9=36}$,

тобто для того, щоб отримати значення скалярного добутку, матрицю-стовпчик, яка відповідає першому зі співмножників треба транспонувати й помножити на матрицю-стовпчик другого вектора за правилами множення матриць.

Норма векторів

Докладніше: Норма (математика)

Завдяки скалярному добутку, можна так обчислити норму вектора:

${\displaystyle ||{\vec {x}}||={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}}$.

Якщо простір евклідів, то:

${\displaystyle ||{\vec {x}}||={\sqrt {{\vec {x}}\cdot {\vec {x}}}}={\sqrt {{x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}+\dots +{x_{n}}^{2}}}}$.

Обчислення кута

В евклідовому просторі виконується така рівність:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}=|{\vec {x}}||{\vec {y}}|\cos \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)}$.

На основі цього можна обчислити кут між векторами:

${\displaystyle \measuredangle \left({\vec {x}},{\vec {y}}\right)=\arccos {\frac {{\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}{\left|{\vec {x}}\right|\,\left|{\vec {y}}\right|}}}$.

Визначення стандартного скалярного добутку в просторі комплексних векторів

Докладніше: Ермітів скалярний добуток

Для ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ векторного простору над полем комплексних чисел стандартний скалярний добуток векторів ${\displaystyle {\vec {x}},{\vec {y}}\in \mathbb {C} ^{n}}$ визначається як відображення, що задовільняє наступним умовам:

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}:=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\overline {y_{i}}}={x_{1}}{\overline {y_{1}}}+{x_{2}}{\overline {y_{2}}}+\dotsb +{x_{n}}{\overline {y_{n}}},}$

де риска над комплексним числом позначає комплексно-спряжене число.

Інший варіант скалярного добутку можна визначити як

${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}:=\sum _{i=1}^{n}{\overline {x_{i}}}y_{i}={\overline {x_{1}}}{y_{1}}+{\overline {x_{2}}}{y_{2}}+\dotsb +{\overline {x_{n}}}{y_{n}}}$.

Таке визначення здебільшого використовується в фізиці.

Результати обох визначень є взаємно-спряженими комплексними числами. Для скалярного добутку вектора на самого себе, який визначає норму вектора, обидва визначення дають однаковий результат.

Властивості

• Попри те, що у випадку дійсних чисел є симетричним, тобто ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}={\vec {y}}\cdot {\vec {x}}}$, у випадку комплексних чисел є ермітовим, тобто ${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}={\overline {{\vec {y}}\cdot {\vec {x}}}}}$.
• Скалярний добуток не асоціативний (і не може бути, оскільки результатом скалярного добутку є скаляр, а не вектор).
• Скалярний добуток дистрибутивний стосовно додавання та віднімання.
• В евклідовому просторі спряженим стосовно лінійного оператора ${\displaystyle A}$ називається оператор ${\displaystyle A^{*}}$, для якого виконується рівність: ${\displaystyle \langle A\cdot x,y\rangle =\langle x,A^{*}\cdot y\rangle }$ для довільних ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$.

Узагальнене визначення

Якщо ${\displaystyle L}$ — лінійний простір над полем ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$, а ${\displaystyle {\overline {L}}}$ — комплексно спряжений до ${\displaystyle L}$ то білінійне відображення ${\displaystyle L\times L\to {\mathcal {K}}}$, або, при ${\displaystyle {\mathcal {K}}=\mathbb {C} }$ відображення ${\displaystyle L\times {\overline {L}}\to {\mathcal {K}}}$ називається скалярним добутком.

• Скалярний добуток в дійсному векторному просторі ${\displaystyle V}$, це симетричне додатньовизначене білінійне відображення ${\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {R} }$, тобто, для ${\displaystyle x,y,z\in V}$ та ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ виконуються такі умови:
  1. білінійність:
     • ${\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle }$
     • ${\displaystyle \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle }$
     • ${\displaystyle \langle x,\lambda y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle =\langle \lambda x,y\rangle }$
  2. симетричність: ${\displaystyle \langle x,y\rangle =\langle y,x\rangle }$
  3. додатньовизначеність: ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0,}$ та ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$ якщо ${\displaystyle x=0}$
• Скалярний добуток в комплексному векторному просторі ${\displaystyle V}$, це ермітове додатньовизначене півторалінійне відображення ${\displaystyle \langle {\cdot },{\cdot }\rangle \colon V\times V\to \mathbb {C} }$, тобто, для ${\displaystyle x,y,z\in V}$ і ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ виконуються такі умови:
  1. півторалінійність:
     • ${\displaystyle \langle x+y,z\rangle =\langle x,z\rangle +\langle y,z\rangle }$
     • ${\displaystyle \langle x,y+z\rangle =\langle x,y\rangle +\langle x,z\rangle }$
     • ${\displaystyle \langle \lambda x,y\rangle =\lambda \langle x,y\rangle =\langle x,{\bar {\lambda }}y\rangle }$
  2. ермітовість: ${\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}}$
  3. додатньовизначеність: ${\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0}$ і ${\displaystyle \langle x,x\rangle =0}$, якщо ${\displaystyle x=0}$. (те, що ${\displaystyle \langle x,x\rangle }$ дійсний, витікає з умови 2)

Дійсний або комплексний векторний простір, в якому визначено скалярний добуток, називається прегільбертовим.

Представлення у вигляді добутку матриць

Стандартний скалярний добуток можна представити як добуток матриць. Водночас вектор представляється у вигляді матриці-стовпчика.

У випадку дійсних чисел, скалярний добуток представляється як:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{T}y=y^{T}x}$,

де знаком ${\displaystyle {}^{T}}$ позначається транспонування матриці.

У випадку комплексних чисел виконується:

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x^{*}y}$,

де знаком ${\displaystyle {}^{*}}$ позначається ермітово-спряжена матриця.

Взагалі кажучи, у випадку дійсних чисел, кожна симетрична та додатноозначена матриця ${\displaystyle A}$ визначає скалярний добуток:

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}=x^{T}Ay}$;

аналогічно, у випадку комплексних чисел кожна ермітова додатноозначена матриця ${\displaystyle A}$ визначає скалярний добуток:

${\displaystyle \langle x,y\rangle _{A}=x^{*}Ay}$.

Див. також

Ермітів скалярний добуток Векторний добуток Гільбертів простір

Норма (математика) Нерівність Коші — Буняковського

Примітки

1. 2-18.11 // ISO 80000-2:2019Quantities and units — Part 2: Mathematics — 2 — ISO, 2019. — 36 с.
   d:Track:Q109490582d:Track:Q15028
2. Ильин В. А., Позняк Э. Г. (1999). Линейная алгебра (вид. четверте). Москва: Наука, Физматлит.
3. А. И. Кострикин, Ю. И. Манин. Линейная алгебра и геометрия.

Література

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — 5-е. — М: : Физматлит, 2010. — 559 с. — .(рос.)
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. — Москва : Наука, 1998. — 320 с. — .(рос.)
• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. — 3-е изд. — Новосибирск : Наука, 1970. — 400 с.(рос.)

Посилання

• Добуток скалярний // Універсальний словник-енциклопедія. — 4-те вид. — К. : Тека, 2006.