Симпліці́йна (або комбінато́рна) d-сфе́ра — це симпліційний комплекс, гомеоморфний d-вимірній сфері. Деякі симпліційні сфери з'являються як межі опуклого багатогранника, однак у вищих розмірностях більшість симпліційних сфер не можна отримати таким чином.
Найважливіша з відкритих проблем цієї галузі — g-гіпотеза, сформульована [en], який поставив питання про можливе число граней різних розмірностей симпліційні сфери. У грудні 2018 [ru] довів гіпотезу для всіх d .
Приклади
- Для будь-якого n ⩾ 3 простий n-цикл Cn є симпліційним колом, тобто симпліційною сферою розмірності 1. Ця побудова дає всі симпліційні кола.
- Межа опуклого багатогранника в R3 з правильними гранями, такого як октаедр або ікосаедр, є 2-сферою.
- У загальнішому випадку, межа будь-якого (d+1)-вимірного компактного (або обмеженого) симпліційного опуклого багатогранника в евклідовому просторі є симпліційною сферою.
Властивості
З формули Ейлера випливає, що будь-яка симпліційна 2-сфера з n вершини має 3n − 6 ребер і 2n − 4 граней. Випадок n = 4 реалізується у вигляді тетраедра. При повторному здійсненні легко побудувати симпліційні сфери для будь-якого n ⩾ 4. Однак [ru] дав опис 1-скелетів (графів ребер) опуклих багатогранників у R3, з якого випливає, що будь-яка симпліційна 2-сфера є межею опуклого багатогранника.
Бранко Ґрюнбаум побудував приклад симпліційної сфери, яка не є межею багатовимірного багатогранника. [en] довів, що, фактично, «більша частина» симпліційних сфер не є межами багатогранників. Найменший приклад існує в розмірності d = 4 і має f0 = 8 вершин.
[en] дає верхні межі для числа fi i-граней будь-якої симпліційної d-сфери з f0 = n вершинами. Гіпотезу довів для поліедральних сфер у 1970 [en], а для загальних симпліційних сфер у 1975 — [en].
Сформульована Макмалленом у 1970 році g-гіпотеза ставить питання про повний опис f-векторів симпліційних d-сфер. Іншими словами, які можливі набори числа граней кожної розмірності симпліційної d-сфери? Для поліедральних сфер відповідь дає g-теорема, яку довели в 1979 році Біллера і Лі (існування) і Стенлі (необхідність). Висловлено припущення, що ті самі умови необхідні для загальних симпліційних сфер.
На 2015 рік гіпотеза залишалася відкритою для d=5 і вище. У грудні 2018 довів гіпотезу для всіх d.
Див. також
Примітки
- Adiprasito, 2018.
- McMullen, 1971, с. 187–200.
Література
- Karim Adiprasito. Combinatorial Lefschetz theorems beyond positivity. — 2018. — 16 червня. — arXiv:1812.10454v2. з джерела 16 лютого 2019. Процитовано 24 грудня 2020.
- Richard P. Stanley. Combinatorics and commutative algebra. — Second edition. — Boston, MA : Birkhäuser Boston, Inc, 1996. — Т. 41. — С. x+164. — (Progress in Mathematics) — .
- P. McMullen. On the upper-bound conjecture for convex polytopes // J. Combinatorial Theory. — 1971. — Вип. 10 (16 червня). — С. 187–200. — (Ser. B).
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Simplici jna abo kombinato rna d sfe ra ce simplicijnij kompleks gomeomorfnij d vimirnij sferi Deyaki simplicijni sferi z yavlyayutsya yak mezhi opuklogo bagatogrannika odnak u vishih rozmirnostyah bilshist simplicijnih sfer ne mozhna otrimati takim chinom Najvazhlivisha z vidkritih problem ciyeyi galuzi g gipoteza sformulovana en yakij postaviv pitannya pro mozhlive chislo granej riznih rozmirnostej simplicijni sferi U grudni 2018 ru doviv gipotezu dlya vsih d PrikladiDlya bud yakogo n 3 prostij n cikl Cn ye simplicijnim kolom tobto simplicijnoyu sferoyu rozmirnosti 1 Cya pobudova daye vsi simplicijni kola Mezha opuklogo bagatogrannika v R3 z pravilnimi granyami takogo yak oktaedr abo ikosaedr ye 2 sferoyu U zagalnishomu vipadku mezha bud yakogo d 1 vimirnogo kompaktnogo abo obmezhenogo simplicijnogo opuklogo bagatogrannika v evklidovomu prostori ye simplicijnoyu sferoyu VlastivostiZ formuli Ejlera viplivaye sho bud yaka simplicijna 2 sfera z n vershini maye 3n 6 reber i 2n 4 granej Vipadok n 4 realizuyetsya u viglyadi tetraedra Pri povtornomu zdijsnenni legko pobuduvati simplicijni sferi dlya bud yakogo n 4 Odnak ru dav opis 1 skeletiv grafiv reber opuklih bagatogrannikiv u R3 z yakogo viplivaye sho bud yaka simplicijna 2 sfera ye mezheyu opuklogo bagatogrannika Branko Gryunbaum pobuduvav priklad simplicijnoyi sferi yaka ne ye mezheyu bagatovimirnogo bagatogrannika en doviv sho faktichno bilsha chastina simplicijnih sfer ne ye mezhami bagatogrannikiv Najmenshij priklad isnuye v rozmirnosti d 4 i maye f0 8 vershin en daye verhni mezhi dlya chisla fi i granej bud yakoyi simplicijnoyi d sferi z f0 n vershinami Gipotezu doviv dlya poliedralnih sfer u 1970 en a dlya zagalnih simplicijnih sfer u 1975 en Sformulovana Makmallenom u 1970 roci g gipoteza stavit pitannya pro povnij opis f vektoriv simplicijnih d sfer Inshimi slovami yaki mozhlivi nabori chisla granej kozhnoyi rozmirnosti simplicijnoyi d sferi Dlya poliedralnih sfer vidpovid daye g teorema yaku doveli v 1979 roci Billera i Li isnuvannya i Stenli neobhidnist Vislovleno pripushennya sho ti sami umovi neobhidni dlya zagalnih simplicijnih sfer Na 2015 rik gipoteza zalishalasya vidkritoyu dlya d 5 i vishe U grudni 2018 doviv gipotezu dlya vsih d Div takozhSfera Gipersfera Simplicijnij kompleks Rivnyannya Dena SomervilyaPrimitkiAdiprasito 2018 McMullen 1971 s 187 200 LiteraturaKarim Adiprasito Combinatorial Lefschetz theorems beyond positivity 2018 16 chervnya arXiv 1812 10454v2 z dzherela 16 lyutogo 2019 Procitovano 24 grudnya 2020 Richard P Stanley Combinatorics and commutative algebra Second edition Boston MA Birkhauser Boston Inc 1996 T 41 S x 164 Progress in Mathematics ISBN 0 8176 3836 9 P McMullen On the upper bound conjecture for convex polytopes J Combinatorial Theory 1971 Vip 10 16 chervnya S 187 200 Ser B